Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F为CE的中点，连结DB，DF．

（1）求∠CDE的度数．

（2）求证：DF是⊙O的切线．

（3）若tan∠ABD=3时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）∠CDE=90°；（2）详见解析；（3）=．

【解析】

（1）因为对角线AC为⊙O的直径，可得∠ADC=90°，即∠CDE=90°；

（2）连接OD，证明DF=CF，可得∠FDC=∠FCD，因为OD=OC，可得∠ODC=∠OCD，即∠ODF=∠OCF=90°，可得DF是⊙O的切线；

（3）证明∠E=∠DCA=∠ABD，可得tan∠E=tan∠DCA=tan∠ABD=3，设DE=x，则CD=3x，AD=9x，在Rt△ADC中，求得AC的长，即可得出的值．

（1）∵对角线AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠CDE=180°-90°=90°；

（2）如图，连接OD，

∵∠CDE=90°，F为CE的中点，

∴DF=CF，

∴∠FDC=∠FCD，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∴∠FDC+∠ODC=∠FCD+∠OCD，即∠ODF=∠OCF，

∵CE⊥AC，

∴∠ODF=∠OCF=90°，即OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线．

（3）∵∠E=90°-∠ECD=∠DCA=∠ABD，

∴tanE=tan∠DCA=tan∠ABD=3，

设DE=x，则CD=3x，AD=9x，

∴AC=，

∴=．