Question

4．如图，在平面直角坐标系中存在两个点的坐标分别是A（1，2），B（3，-2）．
（1）求线段AB与x轴交点M的坐标；
（2）在AB的右侧是否存在一点C，使点A、B、C所组成的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点C坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求出函数值为0所对应的自变量的值即可得到M点坐标；
（2）过点B作DE∥x轴，分别过A点、C1点作AD⊥DE于D，C1E⊥DE于E，如图，则BD=2，AD=4，通过证明△ABD≌△BC₁E得到AD=BE=4，BD=C₁E=2，所以点C₁的坐标为（7，0）；利用同样方法可得点C₂的坐标；连结C₂C₁，则四边形ABC₁C₂为正方形，对角线AC₁和BC₂相交于C₃，△ABC₃为等腰直角三角形，点C₃为AC₁的中点，然后根据线段中点坐标公式可确定点C₃的坐标．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（1，2），B（3，-2）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{3k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=-2x+4，
当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，
所以M（2，0）；
（2）存在
过点B作DE∥x轴，分别过A点、C1点作AD⊥DE于D，C1E⊥DE于E，如图，则BD=2，AD=4，
∵△ABC₁为等腰直角三角形，
∴AB=BC₁，∠ABC₁=90°，
∴∠ABD+∠C₁BE=90°，
而∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠C₁BE=∠BAD，
在△ABD和△BC₁E中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠BE{C}_{1}}\\{∠BAD=∠{C}_{1}BE}\\{AB=B{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BC₁E，
∴AD=BE=4，BD=C₁E=2，
∴点C₁的坐标为（7，0）；
作C₂F⊥AD于F，同理可得△ABD≌△C₂AF，
∴AD=C₂F=4，BD=AF=2，
∴点C₂的坐标为（5，4）；
连结C₂C₁，则四边形ABC₁C₂为正方形，对角线AC₁和BC₂相交于C₃，△ABC₃为等腰直角三角形，点C₃为AC₁的中点，
∴点C₃的坐标为（4，1），
综合所述，点C坐标为（7，0），（5，4），（4，1）．

点评 本题考查了一次函数的综合题：掌握一次函数图象上点的坐标特征和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；能利用全等三角形的知识解决线段相等的问题；理解坐标与图形性质．