Question

20．如图，直线y=x+1与抛物线y=x²-2mx+m²+m交于A、B两点（A在B左边）．求证：无论m为何值，AB的长总为定值．

Answer 1

分析 联立方程求得A、B的坐标，然后根据勾股定理即可求得．

解答 解：∵直线y=x+1与抛物线y=x²-2mx+m²+m交于A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2m+1-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{2m+3-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2m+1+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{2m+3+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$
∴AB=$\sqrt{（\frac{2m+1+\sqrt{5}}{2}-\frac{2m+1-\sqrt{5}}{2}）^{2}+（\frac{2m+3+\sqrt{5}}{2}{-\frac{2m+3-\sqrt{5}}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∴无论m为何值，AB的长总为定值$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，求得直线和抛物线的交点是解题的关键．