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    如图，在平面直角坐标系中半径为3的⊙O分别交坐标轴A、B、C、D．圆上点M在第一象限，且∠MOA=30°，点P（a，0）在x轴上，且a＞3

    （1）若直线PM与⊙O相切于点M，如图1，则a=
     
    ；
    （2）若直线PM恰好过点B，如图2，求阴影部分的面积；
    （3）若直线PM与⊙O相交，另一个交点为N
    ①是否存在满足条件的实数a使PM与MN的长相等？若存在，求出a的值；不存在，说明理由；
    ②若N在第一象限内，设y=MN2，求y关于a的函数关系式，并直接写出a的取值范围．
    考点：圆的综合题
    专题：
    分析：（1）由条件可知△PMO为直角三角形，由三角函数可求得OP的长，即可得出a的值；
    （2）由条件可知△BOM为等边三角形，可得出MP=BM，可求得△PMO的面积，再求出扇形OAM的面积，可求出阴影部分的面积；
    （3）①由（2）可知当N点在B点位置时满足条件MN=PM，此时可求得a的值；
    ②过M作MF⊥OP，在Rt△FMP中可用a表示出PM，再利用切割线定理得出MN的值，从而可求出y与a的函数关系式．
    解答：解：（1）∵直线PM与⊙O相切于点M，
    ∴∠OMP=90°，
    ∵∠MOA=30°，
    ∴
    OM
    OP
    =sin30°，
    ∴
    3
    OP
    =
    		3
    2
    ，
    ∴OP=2
    		3
    ，
    ∴a=2
    		3
    ，
    故答案为：2
    		3
    ；

    （2）∵∠MOA=30°，
    ∴∠BOM=60°，且OB=OM，
    ∴△BOM为等边三角形，
    ∴∠BPO=30°，
    ∴BO=BM=MP=3，由勾股定理可得OP=3
    		3
    ，
    ∴S△OMP=
    1
    2
    S△BOP=
    1
    2
    ×
    1
    2
    ×3×3
    		3
    =
    9
    		3
    4
    ，
    ∵∠MOA=30°，
    ∴S扇形MOA=
    1
    12
    π×32=
    3π
    4
    ，
    ∴S阴影=S△OMP-S扇形MOA=
    9
    		3
    4
    -
    3π
    4
    ；

    （3）①存在，a=3
    		3
    ，理由如下：
    当N点在B点位置时，由（2）可知△BOM为等边三角形，∠BPO=30°，
    ∴NM=PM=OM，
    在Rt△NOP中，ON=3，可求得OP=3
    		3
    ，即a=3
    		3
    ，
    所以当a=3
    		3
    时，PM=MN；
    ②如图，过M点作MF⊥OP，交OP于点F，
    则MF=
    1
    2
    OM=
    3
    2
    ，OF=
    3
    		3
    2
    ，PF=OP-OF=a-
    3
    		3
    2
    ，
    在Rt△PFM中，由勾股定理可得PM=
    		MF2+FP2
    =
    		a2-3
    		3
    a+9
    ，
    又由切割线定理可知PM•PN=PA•PC，
    即PM（PM+MN）=（a-3）（a+3），
    ∴
    		a2-3
    		3
    a+9
    （
    		a2-3
    		3
    a+9
    +MN）=a2-9，
    整理可得：MN=
    3
    		3
    a-18
    		a2-3
    		3
    a+9
    ，
    ∴y=MN2=
    27a2-108
    		3
    a+324
    a2-3
    		3
    a+9
    ((2
    		3
    ＜a＜3
    		3
    ))    ．
    点评：本题主要考查切线的性质及切割线定理、含30°角的直角三角形的性质等知识的综合应用，在（2）中判断出△BOM为等边三角形是解题的关键，在（3）②中利用a表示出PM是解题的关键．
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