Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴负半轴上，且，把沿轴翻折，使点落在轴上的点处，点为线段上一点，连接交轴于点，若，点的纵坐标为，则直线的解析式为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先求出点A、B坐标，于是可得OC的长，然后在Rt△AOC中根据三角函数的定义即可求出∠ACB＝60°，延长AC到Q，使CQ＝CB，连接BP，过D作DK∥y轴交CQ于K，如图，根据SAS可证△CBD≌△CQD，从而得∠CBD＝∠Q，BD＝DQ，根据等量代换和等腰三角形的性质可得∠DPQ＝∠CBD，然后根据三角形的内角和定理可得∠BDP＝∠ACB＝60°，由此可得△PBD是等边三角形，进一步即可推得△DCK也是等边三角形，于是有DK＝CK＝CD＝6m，根据SAS可证△BDC≌△PDK，从而得PK＝BC＝9m，再根据平行线分线段成比例定理即可列方程求出m的值，进一步即可求得D点坐标，然后根据待定系数法即可求出结果．

解：在中，

令y＝0，则，解得：x＝﹣3m，令x＝0，则y＝6m，

∴点A（﹣3m，0），B（0，6m），

∴AO＝3m，OB＝6m，

∵OB＝2OC，∴OC＝OB＝3m，

在Rt△AOC中，∵tan∠ACB＝，

∴∠ACB＝60°，∴∠OAC＝30°，

如图，延长AC到Q，使CQ＝CB，连接BP，过D作DK∥y轴交CQ于K，

∵∠ACB＝∠BCD＝60°，∴∠DCQ＝60°，

∴∠BCD＝∠DCQ，

∵CD＝CD，

∴△CBD≌△CQD（SAS），

∴∠CBD＝∠Q，BD＝DQ，

∵BD＝PD，∴PD＝DQ，

∴∠DPQ＝∠Q，

∴∠DPQ＝∠DBC，

∵∠CEP=∠DEB，

∴∠PCB＝∠BDP＝60°，

∵BD＝PD，∴△PBD为等边三角形，

∵DK∥y轴，∴∠DKC＝∠ACB＝60°，

∵∠DCK＝60°，∴△DCK是等边三角形，

∴DK＝CK＝CD＝6m，

∵∠BDP＝∠CDK＝60°，

∴∠BDC＝∠PDK，

∵BD＝PD，CD＝DK，

∴△BDC≌△PDK（SAS），

∴PK＝BC＝9m，∴PC＝3m，

∵点E的纵坐标为﹣1，∴OE＝1，

∴CE＝3m﹣1，

∵CE∥DK，∴，

∴，解得：m＝1，

∴D（3，0），E（0，﹣1），

设直线PD的解析式为y＝kx+b，

∴，解得：，

∴直线PD的解析式为．