Question

如图，点A、B的坐标分别为（a，0）、（b，0）且

a-4

=-（b+4）²；P为y轴上B点下方一点，PB=m（m＞0），以AP为边作等腰Rt△APM，其中PM=PA，点M落在第四象限．
（1）求S_△APM；
（2）用m的代数式表示点M的坐标
（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变换而变化，写出结论并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据PB易求得OP的长，可得OP的长，即可求得AP的长，根据等腰直角三角形面积计算即可解题；
（2）作MN⊥y轴于点N证得△AOP≌△PNM，得到OP=NM，OA=NP．根据PB=m，用m表示出NM和ON=OP+NP，根据点M在第四象限，表示出点M的坐标即可．
（3）设直线MB的解析式为y=nx-4，根据点M（m+4，-m-8）．然后求得直线MB的解析式为，从而得到无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（-4，0）．

解答：解：（1）∵△APM是等腰三角形，且PM=PA，
∴S_△APM=

1

2

AP²=

1

2

[（m+4）²+4²]
=

1

2

m²+4m+8；
（2）作MN⊥y轴于点N．

∵△APM为等腰直角三角形，PM=PA，
∴∠APM=90°．
∴∠OPA+∠NPM=90°．
∵∠NMP+∠NPM=90°，
∴∠OPA=∠NMP，
在△AOP和△PNM中，

∠AOP=∠PNM=90° ∠OPA=∠NMP AP=PM

，
∴△AOP≌△PNM（AAS），
∴OP=NM，OA=NP．
∵PB=m（m＞0），
∴NM=m+4，ON=OP+NP=m+8．
∵点M在第四象限，
∴点M的坐标为（m+4，-m-8）．
（3）答：点Q的坐标不变．
设直线MB的解析式为y=nx-4（n≠0）．
∵点M（m+4，-m-8）．
在直线MB上，
∴-m-8=n（m+4）-4．
整理，得（m+4）n=-m-4．
∵m＞0，
∴m+4≠0．
解得 n=-1．
∴直线MB的解析式为y=-x-4．
∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（-4，0）．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AOP≌△PNM是解题的关键．