Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为，求抛物线的解析式；

（2）求A、B两点的坐标；

（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）A（﹣5，0）、B（1，0）；（3）∠PDF=60°．

【解析】

试题分析：（1）先提取公式因式将原式变形为，然后令y=0可求得函数图象与x轴的交点坐标，从而可求得点A、B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=﹣2，故此可知当x=﹣2时，y=，于是可求得m的值；

（2）由（1）的可知点A、B的坐标；

（3）先由一次函数的解析式得到∠PBF的度数，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，证明点O、D、P、F共圆，最后依据圆周角定理可证明∠PDF=60°．

试题解析：（1）∵，∴=m（x+5）（x﹣1）．令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0，∵m≠0，∴x=﹣5或x=1，∴A（﹣5，0）、B（1，0），∴抛物线的对称轴为x=﹣2．∵抛物线的顶点坐标为为，∴﹣9m=，∴m=，∴抛物线的解析式为；

（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）；

（3）∠PDF=60°．理由如下：

如图所示，∵OP的解析式为，∴∠AOP=30°，∴∠PBF=60°

∵PD⊥PF，FO⊥OD，∴∠DPF=∠FOD=90°，∴∠DPF+∠FOD=180°，∴点O、D、P、F共圆，∴∠PDF=∠PBF，∴∠PDF=60°．