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【题目】如图,在平面直角坐标系中.有抛物线.抛物线经过原点,与x轴正半轴交于点A,与其对称轴交于点BP是抛物线上一点,且在x轴上方.过点Px轴的垂线交抛物线于点Q.过点QPQ的垂线交抛物线于点(不与点Q重合),连结.设点P的横坐标为m

1)求a的值

2)当抛物线经过原点时,设△与△OAB重叠部分图形的周长为l

①求的值

②求lm之间的函数关系式

3)当h为何值时,存在点P,使以点OAQ为顶点的四边形是轴对称图形?直接写出h的值

【答案】(1);(2);(3)h=3或

【解析】

试题分析:(1)把(0,0)代入即可解决问题.

(2)①用m的代数式表示PQ、QQ′,即可解决问题.

②分0<m≤3或3<m<6两种情形,画出图形,利用相似三角形或锐角三角函数求出相应线段即可解决.

(3),①当h=3时,两个抛物线对称轴x=3,四边形OAQQ′是等腰梯形.②当四边形OQ′1Q1A是菱形时,求出抛物线对称轴即可解决问题.

试题解析:(1)∵抛物线经过原点,∴x=0时,y=0,∴9a+4=0,∴

(2)∵抛物线经过原点时,∴h=0,∵,∴

化为;设P(m,Q(m,PQ=QQ′=2m=

②如图1中,当0<m≤3时,设PQ与OB交于点E,与OA交于点F,∵,∠PQQ′=∠BMO=90°,∴△PQQ′∽△BMO,∴∠QPQ′=∠OBM,∵EF∥BM,∴∠OEF=∠OBM,∴∠OEF=∠QPQ′,∴OE∥PQ′,∵,∴EF=,OE=,∴l=OF+EF+OE==4m

当3<m<6时,如图2中,设PQ′与AB交于点H,与x轴交于点G,PQ交AB于E,交OA于F,作HM⊥OA于M.

∵AF=6﹣m,tan∠EAF=,∴EF=,AE=,∵tan∠PGF=,PF=,∴GF=,∴AG=,∴GM=AM=,∵HG=HA==,∴l=GH+EH+EF+FG=

综上所述

(3)如图3中,①当h=3时,两个抛物线对称轴x=3,∴点O、A关于对称轴对称,点Q,Q′关于对称轴对称,∴OA∥QQ′,OQ′=AQ,∴四边形OAQQ′是等腰梯形,属于轴对称图形.

②当四边形OQ′1Q1A是菱形时,OQ′1=OA=6,∵Q′1Q1=OA=6,∴点Q1的纵坐标为4,在RT△OHQ′1,中,OH=4,OQ′1=6,∴HQ′1=,∴h=

综上所述h=3或点O,A,Q,Q′为顶点的四边形是轴对称图形.

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