Question

8．若关于x的一元二次方程（x-1）（x-2）=m有实数根x₁、x₂，且x₁＜x₂，有下列结论：
①x₁=1，x₂=2；
②m＞-$\frac{1}{4}$；
③二次函数y=（x-1）（x-2）-m的图象对称轴为直线x=1.5；
④二次函数y=（x-1）（x-2）+m的图象与y轴交点的一定在（0，2）的上方．
其中一定正确的有②③（只填正确答案的序号）．

Answer 1

分析 根据一元二次方程解的定义可对①进行判断；根据根的判别式对②进行判断；根据二次函数的性质可对③④进行判断．

解答 解：当m=0时，x₁=1，x₂=2，所以①错误；
方程整理为x²-3x+2-m=0，△=（-3）²-4（2-m）0，解得m＞-$\frac{1}{4}$，所以②正确；
二次函数为y=x²-3x+2-m，所抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-3}{2}$-1.5，所以③正确；
当x=0时，y=x²-3x+2+m=2+m，即抛物线与y轴的交点为（0，2+m），而m＞-$\frac{1}{4}$，所以二次函数y=（x-1）（x-2）+m的图象与y轴交点的一定在（0，$\frac{7}{4}$）的上方，所以④错误．
故答案为②③．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．