Question

4．如图1，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，D，C，B在一条直线上，F，G分别是BE，AD的中点，
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠CFG的度数；
（3）将图1中的△CED绕点C旋转至图2的位置，请完成作图，并求出∠CFG的度数．

Answer 1

分析 （1）由SAS证得△ACD≌△BCE，即可得出结论；
（2）连接CG，由（1）与F，G分别是BE，AD的中点，得出AG=BF，∠CAG=∠CBF，由SAS证得△AGC≌△BFC，得出CG=CF，∠BCF=∠ACG，求得∠GCF=90°，得出△GCF为等腰直角三角形即可得出结果；
（3）连接CG，由SAS证得△ACD≌△BCE，得出BE=AD，AG=BF，∠CAG=∠CBF，由SAS证得AGC≌△BFC（SAS得出CG=CF，∠BCF=∠ACG，求得∠GCF=90°，得出△GCF为等腰直角三角形即可得出结果．

解答 （1）证明：在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACB=∠DCE=90°}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；
（2）解：连接CG，如图1所示：
∵F，G分别是BE，AD的中点，
∴AG=$\frac{1}{2}$AD，BF=$\frac{1}{2}$BE，
∵BE=AD，
∴AG=BF，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAG=∠CBF，
在△AGC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠CAG=∠CBF}\\{AG=BF}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△BFC（SAS），
∴CG=CF，∠BCF=∠ACG，
∵∠BCF+∠ECF=∠ACB=90°，
∴∠ACG+∠ECF=90°，
即∠GCF=90°，
∴△GCF为等腰直角三角形，
∴∠CFG=45°；
（3）解：连接CG，如图2所示：
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE=90°-∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，
∵F，G分别是BE，AD的中点，
∴AG=BF，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAG=∠CBF，
在△AGC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠CAG=∠CBF}\\{AG=BF}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△BFC（SAS），
∴CG=CF，∠BCF=∠ACG，
∵∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠ACG+∠ACF=90°，
即∠GCF=90°，
∴△GCF为等腰直角三角形，
∴∠CFG=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、线段的中点的性质等知识；难度较大，特别是（2）、（3）中，需作辅助线并多次证明三角形全等才能得出结果．