Question

11．如图，⊙O为△ABC的外接圆，点P为CB延长线上一点，且∠PAB=∠C．求证：PA是⊙O的切线．

Answer 1

分析 过点A作直径AD，连结BD，如图，利用圆周角定理得到∠D+∠BAD=90°，∠C=∠D，加上∠PAB=∠C，则∠PAB+∠BAD=90°，所以AD⊥PA，然后根据切线的判定定理即可得到结论．

解答 证明：过点A作直径AD，连结BD，如图，
∵AD为直径，
∴∠ABDF=90°，
∴∠D+∠BAD=90°，
∵∠C=∠D，∠PAB=∠C，
∴∠D=∠PAB，
∴∠PAB+∠BAD=90°，即∠PAD=90°，
∴AD⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决问题的关键是构建以AD为直径的直角三角形．