Question

4．如图，Rt△ABC在直角坐标系中，∠ABC=90°，AB：BC：AC=3：4：5，点A的坐标为（-4，0），点C的坐标为（6，0），点B在y轴正半轴上，点D为AC的中点．
（1）求点B的坐标；
（2）动点P从点B出发以每秒6个单位长度的速度，沿着△OBC的三边B-O-C-B，回到B处停止运动，设运动时间为t，△PBD的面积为S，用含t的代数式表示S；
（3）当点P在线段BO边上移动时，同时点M从点A出发沿线段AO以每秒4个单位长度的速度运动，点N从点O出发以每秒a个单位长度沿y轴负半轴运动，问：当t为何值时，以P、O、C为顶点的三角形与以M、O、N为顶点的三角形全等，并求出相应的a的值．

Answer 1

分析 （1）根据A、C的坐标求得OA=4，OC=6，根据射影定理即可求得OB，即可求得B的坐标；
（2）分三种情况讨论；根据三角形的中位线，可得DE的长，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据全等三角形的对应边相等，可得方程组，根据解方程组，可得答案．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（-4，0），点C的坐标为（6，0），
∴OA=4，OC=6，
∴AC=10，
∵∠ABC=90°，BO⊥AC，
∴OB²=OA•OC=4×6=24，
∴OB=2$\sqrt{6}$，
∴B（0，2$\sqrt{6}$）；
（2）∵点D为AC的中点．
∴DC=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴OD=1，
如图1：作DE⊥BC于E，则DE∥AB．，
∵点D为AC的中点．
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AC=10，AB：BC：AC=3：4：5，
∴AB=6，BC=8，
∴DE=3，
①当P点在OB上时，S=$\frac{1}{2}$×6t×1=3t；
②当P点在OC上，且在D的左边时，S=S_△BOD-S_△BOP=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{6}$-$\frac{1}{2}$（6t-2$\sqrt{6}$）×2$\sqrt{6}$=-6$\sqrt{6}$t+$\sqrt{6}$+12；
③当P点在OC上，且在D的右边时，S=S_△BOP-S_△BOD=$\frac{1}{2}$（6t-2$\sqrt{6}$）×2$\sqrt{6}$-$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{6}$=6$\sqrt{6}$t-12-$\sqrt{6}$；
④当P点在BC上时，S=$\frac{1}{2}$BP•DE=$\frac{1}{2}$（8+6+2$\sqrt{6}$-6t）×3=21+3$\sqrt{6}$-9t；
（3）如图2：，
由△POC≌△MON，得
OM=OP，ON=OC，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4t-4=6t-2\sqrt{6}}\\{at=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{t=\sqrt{6}-2}\\{a=3\sqrt{6}+6}\end{array}\right.$，
当t=$\sqrt{6}$-2时，以P、O、C为顶点的三角形与以M、O、N为顶点的三角形全等，相应的a=3$\sqrt{6}$+6；
如图3：，
由△POC≌△NOM，得
$\left\{\begin{array}{l}{PO=NO}\\{CO=MO}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{6t-2\sqrt{6}=at}\\{4t-4=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{t=\frac{5}{2}}\\{a=\frac{30-4\sqrt{6}}{5}}\end{array}\right.$，
当t=$\frac{5}{2}$时，以P、O、C为顶点的三角形与以M、O、N为顶点的三角形全等，相应的a=$\frac{30-4\sqrt{6}}{5}$
综上所述：当t=$\sqrt{6}$-2时，以P、O、C为顶点的三角形与以M、O、N为顶点的三角形全等，相应的a=3$\sqrt{6}$+6；
当t=$\frac{5}{2}$时，以P、O、C为顶点的三角形与以M、O、N为顶点的三角形全等，相应的a=$\frac{30-4\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用了射影定理，三角形的面积公式，全等三角形的性质，分类讨论是解题关键．