【题目】已知:如图,AB是⊙O直径,OD⊥弦BC于点F,且交⊙O于点E,若∠AEC=∠ODB.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)当AB=10,BC=8时,求BD的长.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)从切线的判定为目标,来求BD⊥AB,连接AC通过相似来证得;
(2)通过已知条件和第一步求得的三角形相似求得BD的长度.
(1)证明:连接AC,
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
又∵OD⊥BC
∴AC∥OE
∴∠CAB=∠EOB
由对的圆周角相等
∴∠AEC=∠ABC
又∵∠AEC=∠ODB
∴∠ODB=∠OBC
∴△DBF∽△OBD
∴∠OBD=90°
即BD⊥AB
又∵AB是直径
∴BD是⊙O的切线.
(2)∵OD⊥弦BC于点F,且点O圆心,
∴BF=FC
∴BF=4
由题意OB是半径即为5
∴在直角三角形OBF中OF为3
由以上(1)得到△DBF∽△OBD
∴
即得BD=.
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【题目】两个少年在绿茵场上游戏.小红从点A出发沿线段AB运动到点B,小兰从点C出发,以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C,两人的运动路线如图1所示,其中AC=DB.两人同时开始运动,直到都停止运动时游戏结束,其间他们与点C的距离y与时间x(单位:秒)的对应关系如图2所示.则下列说法正确的有________.(填序号)
①小红的运动路程比小兰的长;② 两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇;③ 当小红运动到点D的时候,小兰已经经过了点D ;④在4.84秒时,两人的距离正好等于⊙O的半径.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,作CE⊥AB干点E,BE=2OE,延长AB至点D,使得BD=AB,P是弧AB(异于A,B)上一个动点,连接AC、PE.
(1)若AO=3,求AC的长度;
(2)求证:CD是⊙O的切线;
(3)点P在运动的过程中是否存在常数k,使得PE=k·PD,如果存在,求k的值,如果不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+b的图象与反比例函数y=(k≠0)图象交于A、B两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D,其中A点坐标为(﹣2,3).
(1)求一次函数和反比例函数解析式.
(2)若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F,连接AF、BF,求△ABF的面积.
(3)根据图象,直接写出不等式﹣x+b>的解集.
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【题目】关于x的二次函数y=x2+2kx+k﹣1,下列说法正确的是( )
A.对任意实数k,函数图象与x轴都没有交点
B.对任意实数k,函数图象没有唯一的定点
C.对任意实数k,函数图象的顶点在抛物线y=﹣x2﹣x﹣1上运动
D.对任意实数k,当x≥﹣k﹣1时,函数y的值都随x的增大而增大
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【题目】体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况,随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试(单位:个),根据测试结果,制成了下面不完整的统计图表:
组别 | 个数段 | 频数 | 频率 |
1 | 5 | 0.1 | |
2 | 21 | 0.42 | |
3 | |||
4 |
(1)表中的数 , ;
(2)估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数;
(3)排球垫球测试结果小于10的为不达标,若不达标的5人中有3个男生,2个女生,现从这5人中随机选出2人调查,试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率.
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【题目】已知M、N两点关于y轴对称,且点M在反比例函数的图象上,点N在一次函 数的图象上,设点M的坐标为(a,b),则二次函数( )
A.有最小值,且最小值是B.有最大值,且最大值是
C.有最大值,且最大值是D.有最小值,且最小值是
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【题目】已知⊙O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对的圆周角的度数是( )
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
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