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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,作CEAB干点EBE=2OE,延长AB至点D,使得BD=ABP是弧AB(异于AB)上一个动点,连接ACPE

1)若AO=3,求AC的长度;

2求证:CD是⊙O的切线;

3)点P在运动的过程中是否存在常数k,使得PE=k·PD,如果存在,求k的值,如果不存在,请说明理由.

【答案】(1)(2)见解析;(3)存在,

【解析】

1AO=3,即半径为3,所以AB=6,可算出AE=4AB是直径,且AEEC,易证明△AEC△CEB,则有,即可算出AC长.

2)连接OC,由△AECCEB,可得 =,再证明=,又∠OEC=CED可证明△OEC△CED,所以∠ECD=EOC,所以∠OCE+ECD=OCE+COE=,即可证明CD为切线.

(3)连接OP,由,且∠POE=DOP,所以OEPOPD,即可证明

解:(1)∵AO=3,

OB=3AB=BD=6AE=4

BE=2OE

OE=1,BE=2

AB是直径

∴∠ACB=

∵∠AEC=

∴∠CAB=BCE

AECCEB

=24

AC=2

2)如下图,连接OC

由(1)中AECCEB

可得 =EC=OE

ED=EB+BD=2OE+6OE=8OE

=

∵∠OEC=CED

∴△OEC△CED

∴∠ECD=EOC

∴∠OCE+ECD=OCE+COE=

OCCD

CD为⊙O的切线.
(3)存在, ,如下图,连接OP

OP=OB=3OE

OD=9OE

又∵∠EOP=POD

OEPOPD

k=

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