【题目】如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,作CE⊥AB干点E,BE=2OE,延长AB至点D,使得BD=AB,P是弧AB(异于A,B)上一个动点,连接AC、PE.
(1)若AO=3,求AC的长度;
(2)求证:CD是⊙O的切线;
(3)点P在运动的过程中是否存在常数k,使得PE=k·PD,如果存在,求k的值,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析;(3)存在,
【解析】
(1)AO=3,即半径为3,所以AB=6,可算出AE=4,AB是直径,且AE⊥EC,易证明△AEC∽△CEB,则有,即可算出AC长.
(2)连接OC,由△AEC∽△CEB,可得 =,再证明=,又∠OEC=∠CED可证明△OEC∽△CED,所以∠ECD=∠EOC,所以∠OCE+∠ECD=∠OCE+∠COE=,即可证明CD为切线.
(3)连接OP,由,且∠POE=∠DOP,所以△OEP∽△OPD,即可证明.
解:(1)∵AO=3,
∴OB=3,AB=BD=6,AE=4
∵BE=2OE
∴OE=1,BE=2
∵AB是直径
∴∠ACB=
∵∠AEC=
∴∠CAB=∠BCE
∴△AEC∽△CEB
∴=24
∴AC=2
(2)如下图,连接OC,
由(1)中△AEC∽△CEB,
可得 =,EC=OE
ED=EB+BD=2OE+6OE=8OE
∴=,
∵∠OEC=∠CED
∴△OEC∽△CED
∴∠ECD=∠EOC,
∴∠OCE+∠ECD=∠OCE+∠COE=
∴OC⊥CD,
即CD为⊙O的切线.
(3)存在, ,如下图,连接OP
∴OP=OB=3OE
∵OD=9OE
∴
又∵∠EOP=∠POD
∴△OEP∽△OPD
∴
∴k=.
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【题目】为了解某中学学生课余生活情况,对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计.现从该校随机抽取名学生作为样本,采用问卷调查的方法收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项).并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.由图中提供的信息,解答下列问题:
(1)求n的值;
(2)若该校学生共有1200人,试估计该校喜爱看电视的学生人数;
(3)若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生,现从这4名学生中任意抽取2名学生,求恰好抽到2名男生的概率.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E,连接AE.
(1)求证:四边形AECD为平行四边形;
(2)连接CO,求证:CO平分∠BCE.
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【题目】如图1,骰子有六个面并分别标有数1,2,3,4,5,6,如图2,正六边形顶点处各有一个圈,跳圈游戏的规则为:游戏者掷一次骰子,骰子向上的一面上的数字是几,就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长.
如:若从圈起跳,第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈;若第二次掷得2,就从开始顺时针连续跳2个边长,落到圈;……设游戏者从圈起跳.
(1)小明随机掷一次骰子,求落回到圈的概率;
(2)小亮随机掷两次骰子,用列表法或画树状图法求最后落回到圈的概率,并指出他与小明落回到圈的可能性一样吗?
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【题目】如图,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部D处的俯角α为30°,又从A处测得乙楼底部C处的俯角β为60°.已知两楼之间的距离BC为18米,则乙楼CD的高度为__________.(结果保留根号)
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【题目】关于x的方程(2m+1)x2+4mx+2m﹣3=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)是否存在实数m,使方程的两个实数根的倒数之和等于﹣1?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若点A(-3,y1)、点B(-,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<-1<5<x2.其中正确的结论有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
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【题目】已知:如图,AB是⊙O直径,OD⊥弦BC于点F,且交⊙O于点E,若∠AEC=∠ODB.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)当AB=10,BC=8时,求BD的长.
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【题目】今年由于防控疫情,师生居家隔离线上学习,AB和CD是社区两栋邻楼的示意图,小华站在自家阳台的C点,测得对面楼顶点A的仰角为30°,地面点E的俯角为45°.点E在线段BD上.测得B,E间距离为8.7米.楼AB高12米.求小华家阳台距地面高度CD的长(结果精确到1米,1.41,1.73)
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