Question

【题目】在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线（、、为常数，）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在轴上的三角形为其“梦想三角形”．

已知抛物线与其“梦想直线”交于、两点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点．

（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ；

（2）如图，点为线段上一动点，将以所在直线为对称轴翻折，点的对称点为，若为该抛物线的“梦想三角形”，求点的坐标；

（3）当点在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点、的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），（﹣2，），（1，0）；（2）（0，﹣3）或（0，+3）；（3）存在，E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）.

【解析】

试题分析：（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；

（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；

（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．

试题解析：（1）∵抛物线，

∴其梦想直线的解析式为，

联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，

∴A（﹣2，），B（1，0），

故答案为：，（﹣2，），（1，0）；

（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，

在中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，

∴C（﹣3，0），且A（﹣2，），

∴，

由翻折的性质可知AN=AC=，

∵△AMN为梦想三角形，∴N点在y轴上，且AD=2，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=，

∵OD=，∴ON=﹣3或ON=+3，

∴N点坐标为（0，﹣3）或（0，+3）；

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，

则有AC∥EF且AC=EF，

∴∠ACK=∠EFH，

在△ACK和△EFH中

∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=，

∵抛物线对称轴为x=﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，

∵点F在直线AB上，

∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，

∴E到y轴的距离为EH﹣OF=﹣=，即E点纵坐标为﹣，

∴E（﹣1，﹣）；

当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；

②当AC为平行四边形的对角线时，

∵C（﹣3，0），且A（﹣2，），

∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），

设E（﹣1，t），F（x，y），

则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=，

∴x=﹣4，y=﹣t，

代入直线AB解析式可得﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，

∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；

综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．