Question

10．已知，如图，△ABC为等边三角形，∠BDC=60°，连接AD．
（1）如图1，若AD=CD，求证：BD=2CD；
（2）如图2，若AD=mCD，求$\frac{BD}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根据∠BDC=∠BAC=60°得出A、B、C、D四点共圆，进而得出△ABD为含30°角的直角三角形，即可得出结论；
（2）由A、B、C、D四点共圆，得出△BCD∽△BOC，再根据相似的性质可得结论．

解答 证明：（1）∵∠BDC=∠BAC=60°，
∴A、B、C、D四点共圆，
又∵AD=CD 
∴∠ABD=∠CBD=∠CAD=30°，
∴△ABD为含30°角的直角三角形，
∴BD=2AD=2CD，
（2）设AC，BD交于O，

∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADB=∠BDC=∠BAC=60°
∴BD为∠ADC的角平分线，
即$\frac{AD}{CD}=\frac{AO}{CO}=m$ 
设CO=1，则AO=m，BC=AC=1+m
∵∠ACB=∠BDC=60°，∠DBC=∠CBO，
∴△BCD∽△BOC，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BC}{CO}=1+m$．

点评 本题主要考查的是四点共圆的性质与判定，以及相似三角形性质与判定，根据条件得出A、B、C、D四点共圆和△BCD∽△BOC是解决本题的关键．