Question

19．问题情境：小明在学习中发现：棱长为1cm的正方体的表面展开图面积为6cm²．但是反过来，在面积为6cm²的长方形纸片（如图1，图中小正方形的边长为1cm）上是画不出这个正方体表面展开图的．于是，爱思考的小明就想：要画出这个正方体的表面展开图，最少需要选用多大面积的长方形纸片呢？

问题解决：小明仔细研究正方体的表面展开图的11种不同情形后发现，至少要用用“2×5”和“3×4”两种不同的长方形纸片才能剪得一个正方体的表面展开图．
（1）请你在下面两个网格中分别画出一种；

（2）比较发现：用长方形纸片剪得一个正方体的表面展开图的最大利用率为60%．
拓展延伸：若要在如图3所示的“2×8”和“3×6”的两种规格的长方形纸片上分别剪出两个正方体的表面展开图，请在图中画出裁剪方法．

操作应用：
现有边长20cm的正方形纸片（图4所示），能否用它剪得两个面积最大的正方体表面展开图？若能，请你画出你的设计方案；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 根据正方体展开图的11种特征，正方体展开图分四种类型．“1-4-1”结构，“2-2-2”结构，“1-3-2”结构，“3-3”结构，发现至少要用“2×5”和“3×4”两种不同的长方形纸片才能剪得一个正方体的表面展开图，进行分析．

解答 解：根据正方体展开图的11种特征，正方体展开图分四种类型．
∵“1-4-1”结构，“2-2-2”结构，“1-3-2”结构所需的长方形长是4个边长1厘米的正方形的边长，宽是3个边长1厘米的正方形的边长，
∴此长方形的面积为12cm²；
∵“3-3”结构，所需长方形的长是5个边长1厘米的正方形的边长，宽是2个边长1厘米的正方形的边长，
∴长方形的面积为10cm²，
∴要画出这个正方体的表面展开图，最少需要选用10cm²的长方形纸片．
（1）如图2：

（2）∵正方体的表面展开图，最少需要选用10cm²的长方形纸片，正方体的表面积为6cm²，
∴用长方形纸片剪得一个正方体的表面展开图的最大利用率为：$\frac{6}{10}×100%$=60%，
故答案为：60%．
（3）如图3：

（4）能，如图4，

点评 本题考查了作图，解决本题的关键是掌握正方体展开图的11种特征．