Question

4．△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．
（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；
（2）在图1中，连接AE交BC于M，求$\frac{AD}{BM}$的值；
（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子$\frac{HE-GD}{GH}$的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根据“AAS”可证明△DBC≌△CFE；
（2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接着证明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以$\frac{AD}{BM}$=2；
（3）在EH上截取EQ=DG，如图2，先证明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB=45°，则∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再证明△HCG≌△HCQ，则得到HG=HQ，然后可计算出$\frac{HE-GD}{GH}$=1．

解答 （1）证明：∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=90°．
∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°，
∵EF⊥BC，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠DCB=∠CEF，
在△DBC和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠CFE}\\{∠DCB=∠CEF}\\{CD=EC}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△CFE；
（2）解：如图1，
∵△DBC≌△CFE，
∴BD=CF，BC=EF，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∴AB=EF，AD=BF，
在△ABM和△EFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠EMF}\\{∠ABM=∠EFM}\\{AB=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△EFM，
∴BM=FM，
∴BF=2BM，
∴AD=2BM，
∴$\frac{AD}{BM}$的值为2；
（3）解：$\frac{HE-GD}{GH}$的值不变．
在EH上截取EQ=DG，如图2，
在△CDG和△CEQ中
$\left\{\begin{array}{l}{DG=EQ}\\{∠CDG=∠CEQ}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CEQ，
∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，
∵∠DCG+∠DCB=45°，
∴∠ECQ+∠DCB=45°，
而∠DCE=90°，
∴∠HCQ=45°，
∴∠HCQ=∠HCG，
在△HCG和△HCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{HC=HC}\\{∠HCG=∠HCQ}\\{CG=CQ}\end{array}\right.$，
∴△HCG≌△HCQ，
∴HG=HQ，
∴$\frac{HE-GD}{GH}$=$\frac{HQ+QE-GD}{HG}$=$\frac{HG+DG-GD}{HG}$=1．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．