Question

14．在平面直角坐标系中有线段AB和点A′，已知A点的坐标为（-2，1），B点的坐标为（-3，-2），A′点的坐标为（1，2），分别按下列要求完成各题．

（1）如图1，平移线段AB，使点A移到点A′的位置，请在图中作出平移后的线段A′B′，并直接写出B′点的坐标为（0，-1）；
（2）如图2，线段AB与A′B′关于某条直线l对称，请用尺规作图的方法在图中画出对称轴l（保留作图痕迹），并直接写出对称轴l的解析式为y=-3x；
（3）如图3，线段AB绕图中某点P顺时针方向旋转90°，点A恰好旋转到点A′的位置，请在图中画出点P的位置，并画出点B的对应点B′，直接写出：P点的坐标为（0，0），在旋转过程中线段AB扫过的面积为2π．

Answer 1

分析 （1）根据图形平移的性质画出图形，写出B′点的坐标即可；
（2）连接AA′，作线段AA′的垂直平分线，利用待定系数法求出对称轴l的解析式即可；
（3）连接AA′，作线段AA′的垂直平分线，连接OA，OB′可知旋转中心为点O，根据图形旋转的性质找出B′点，根据扇形的面积公式即可得出旋转过程中线段AB扫过的面积．

解答 解：（1）如图1所示，B′（0，-1）．
故答案为：（0，-1）；


（2）如图2所示，
连接AA′，作线段AA′的垂直平分线，则此直线即为直线l．
由图可知，直线l过点（0，0），（-1，3），
∴设直线l的解析式为y=kx（k≠0），
∵直线过点（-1，3），
∴3=-k，即k=-3，
∴直线l的解析式为：y=-3x．
故答案为：y=-3x；
 
（3）如图3所示，
∵OA=OA′，且∠AOA′=90°，
∴点O即为P点．
∵OA=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴在旋转过程中线段AB扫过的面积=$\frac{90×π×[（\sqrt{13}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}]}{360}$=2π．
故答案为：（0，0），2π．

点评 本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．