Question

9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，D是⊙O上的一个动点（C，D两点位于直径AB的两侧），连接CD，过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E．若⊙O的半径是$\sqrt{5}$，则线段CE长度的最大值是（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 5$\sqrt{5}$
• C． $\frac{16\sqrt{5}}{5}$
• D． 4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，然后根据圆周角定理得到∠A=∠D，则可证得△ACB∽△DCE，利用相似比得CE=$\frac{BC}{AC}$•DC=2DC，DC为直径时，DC最长，此时CE最长，然后把DC=2$\sqrt{5}$代入计算即可．

解答 解：∵AB为⊙O的直径，⊙O的半径是$\sqrt{5}$，
∴AB=2$\sqrt{5}$，∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∵CD⊥CE，
∴∠DCE=90°，
∴∠ACB=∠DCE
∵∠A=∠D，
∴△ACB∽△DCE，
∴$\frac{AC}{DC}$=$\frac{BC}{CE}$，
∴CE=$\frac{BC}{AC}$•DC=2DC，
当DC最大时，CE最大，即DC为⊙O的直径时，CE最大，此时CE=2×2$\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．
故选D．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．解题的关键是：判断△ACB∽△DCE．