Question

4．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 将△ABM逆时针旋转90°得到△ACF，连接NF，由条件可以得出△NCF为直角三角形，利用勾股定理就可以求出NF，通过证明三角形全等就可以MN=NF，求出NF即可．

解答 解：将△AMB逆时针旋转90°到△ACF，连接NF，
∴CF=BM，AF=AM，∠B=∠ACF．∠2=∠3，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，∠BAC=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠NAF=∠1+∠3=∠1+∠2=90°-45°=45°=∠NAF，
在△MAN和△FAN中
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AN}\\{∠MAN=∠FAN}\\{AM=AF}\end{array}\right.$
∴△MAN≌△FAN，
∴MN=NF，
∵∠ACF=∠B=45°，∠ACB=45°，
∴∠FCN=90°，
∵CF=BM=1，CN=3，
∴在Rt△CFN中，由勾股定理得：MN=NF=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了旋转的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定与性质，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中．