Question

17．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第n（n为正整数）次碰到点F时，小球P所经过的路程为（　　）

• A． $6\sqrt{5}n+5\sqrt{5}$
• B． $5\sqrt{5}n+\sqrt{5}$
• C． $6\sqrt{5}n-5\sqrt{5}$
• D． $5\sqrt{5}n-4\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为$\frac{1}{2}$，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．再由勾股定理就可以求出小球经过的路径的总长度．

解答 解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为$\frac{1}{2}$，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，$\frac{3}{2}$
第二次碰撞点为G，在DA上，且DG=$\frac{1}{6}$DA，
第三次碰撞点为H，在DC上，且DH=$\frac{1}{3}$DC，
第四次碰撞点为M，在CB上，且CM=$\frac{1}{3}$BC，
第五次碰撞点为N，在DA上，且AN=$\frac{1}{6}$AD，
第六次回到E点，AE=$\frac{1}{3}$AB．
由勾股定理可以得出EF=$\sqrt{5}$，FG=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，GH=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$，HM=$\sqrt{5}$，MN=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，NE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$，
∴小球经过的路程为：$\sqrt{5}$+$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$+$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$=6$\sqrt{5}$，
∴当小球P第n（n为正整数）次碰到点F时，小球P所经过的路程为6$\sqrt{5}$（n-1）+$\sqrt{5}$=6$\sqrt{5}$n-5$\sqrt{5}$，
故选C．

点评 本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，由勾股定理来确定小球经过的路程，是一道学科综合试题，属于难题．