Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．

（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：　 　；

（2）当PQ＝时，求t的值；

（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0≤t≤4）；（2）t1＝2，t2＝；（3）经过点D的双曲线（k≠0）的k值不变，为．

【解析】

（1）过点P作PE⊥BC于点E，由点P，Q的出发点、速度及方向可找出当运动时间为t秒时点P，Q的坐标，进而可得出PE，EQ的长，再利用勾股定理即可求出y关于t的函数解析式（由时间=路程÷速度可得出t的取值范围）；
（2）将PQ=代入（1）的结论中可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，求得点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解．

解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．

当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（4-t，3），
∴PE=3，EQ=|4-t-t|=|4-t|，
∴PQ2=PE2+EQ2=32+|4-t|2=t2-20t+25，
∴y关于t的函数解析式及t的取值范围：y＝t220t+25(0≤t≤4)；
故答案为：y＝t220t+25(0≤t≤4)．
（2）当PQ＝时，t220t+25＝()2
整理，得5t2-16t+12=0，
解得：t1=2，t2＝．
（3）经过点D的双曲线y＝ (k≠0)的k值不变．
连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．

∵OC=3，BC=4，
∴OB＝＝5．
∵BQ∥OP，
∴△BDQ∽△ODP，
∴ ，
∴OD=3．
∵CB∥OA，
∴∠DOF=∠OBC．
在Rt△OBC中，sin∠OBC＝ ，cos∠OBC＝＝，
∴OF＝ODcos∠OBC＝3×＝，DF＝ODsin∠OBC＝3×＝，
∴点D的坐标为(，)，
∴经过点D的双曲线y＝(k≠0)的k值为×＝．．