Question

如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连接EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于点P，设正方形ABCD的边长为1．

（1）证明：四边形MPBG是平行四边形；

（2）设BE=x，四边形MNBG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）如果按题设作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）y=（0＜x＜1）；（3）BE=2﹣．

【解析】

试题分析：（1）分别证得DB∥ME和MN∥CB后利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证得结论.

（2）根据正方形BEFG，从而可得CM=1﹣x，然后得y=（BG+MN）•BN即可．

（3）由已知易得四边形BGMP是平行四边形，要使四边形BGMP是菱形则BG=MG，可得x=（1﹣x），解得x即可．

试题解析：（1）∵ABCD、BEFG是正方形

∴∠CBA=∠FEB=90°，∠ABD=∠BEG=45°.

∴DB∥ME（同位角相等，两直线平行）．

∵MN⊥AB，CB⊥AB，

∴MN∥CB．

∴四边形MPBG是平行四边形.

（2）∵正方形BEFG，

∴BG=BE=x．

∵∠CMG=∠BEG=45°，

∴CG=CM=BN=1﹣x．

∴y=（GB+MN）•BN=（1+x）（1﹣x）=（0＜x＜1）.

（3）∵四边形BGMP是菱形，

∴BG=MG，

∴x=（1﹣x），

∴x=2﹣，

∴BE=2﹣．

考点：1.正方形的性质；2.平行四边形的判定；3.菱形的性质；4.由实际问题列函数关系式；5.方程思想的应用.