Question

【题目】如图1，在正方形中，是对角线，点在上，是等腰直角三角形，且，点是的中点，连结与.

(1)求证：.

(2)求证：.

(3)如图2，若等腰直角三角形绕点按顺时针旋转，其他条件不变，请判断的形状，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)△CEF是等腰直角三角形．

【解析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得EF=DF=DG,CF=DF=DG,从而得到结论；

（2）根据等边对等角可得再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出然后根据正方形的对角线平分一组对角求出，求出，从而得证；

（3）延长交于，先求出,再根据两直线平行，内错角相等，求出,然后利用ASA证明和全等，根据全等三角形对应边相等，可得EG=DH,EF=FH,再求出CE=CH,然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可.

解：(1)证明：，点是的中点，

，

∵正方形中，，点是的中点，

，

；

(2)证明：，

，

，

在正方形中，，

，

；

(3)解：是等腰直角三角形．

理由如下：如图，延长交于，

∵，

，

，

，

∵点是的中点，

，

在和中，

，

，

，

，

，

即，

(等腰三角形三线合一)，，

∴△CEF是等腰直角三角形．