Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．

（1）动手操作：利用尺规作圆O，使圆O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出圆O与AB的另一个交点E，与AC的另一个交点F（保留作图痕迹，不写作法）

（2）综合应用：在你所作的图中．

①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；

②如果∠BAC=60°，CD=，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）．

　

Answer 1

【考点】作图—复杂作图；直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．

【分析】（1）根据题意得：O点应该是AD垂直平分线与AB的交点；

（2）①由∠BAC的角平分线AD交BC边于D，与圆的性质可证得AC∥OD，又由∠C=90°，则问题得证；

②设⊙O的半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值；然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为：S_△ODB﹣S_扇形ODE=2﹣π．

【解答】解：（1）如图1；

（2）①直线BC与⊙O的位置关系为相切．理由如下：

如图1，连接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BC，

即直线BC是⊙O的切线，

∴直线BC与⊙O的位置关系为相切；

②如图2，

∵∠BAC的角平分线AD交BC于D，∠BAC=60°，∠C=90°，

∴∠CAD=∠DAB=30°，∠B=30°，

∴∠DAB=∠B=30°，

∴BD=AD．

∵在Rt△ADC中，∠C=90°，∠CAD=30°，CD=，

∴AD=2CD=2，AC=CD=3，

∴BD=2，AB=2AC=6．

设⊙O的半径为r，

在Rt△OBD中，OD²+BD²=OB²，

即r²+（2）²=（6﹣r）²，

解得r=2，OB=6﹣r=4，

∵∠ODB=90°，∠B=30°，

∴∠DOB=60°，

∴S_扇形ODE==π，

S_△ODB=OD•BD=×2×2=2，

∴线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为：S_△ODB﹣S_扇形ODE=2﹣π．

【点评】此题考查了作图﹣复杂作图，切线的判定与性质以及扇形面积与三角形面积的求解方法等知识，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．