Question

14．如图，点A，B是⊙O上两点，点P是⊙O0上的动点（P与A，B不重合），连接AP，BP，过点O分别作OE⊥AP，OF⊥BP，点E、F分别是垂足．
（1）求证：∠OEF+∠OFE=∠P；
（2）EF=5，点O到AB的距离为2，求⊙O的半径的长．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理和四边形内角和定理即可得出结论；
（2）由垂径定理可以得到E、F分别是AP、BP的中点，然后利用中位线定理求出AB，过O作OC⊥AB于C，连接OB，利用垂径定理和勾股定理即可求解．

解答 （1）证明：∵OE⊥AP，OF⊥BP，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠P+∠EOF=360°-90°-90°=180°，
∵∠OEF+∠OFE+∠EOF=180°，
∴∠OEF+∠OFE=∠P；
（2）解：∵OE⊥AP，OF⊥BP，点E、F分别是垂足，
∴AE=EP，PF=BF，
∴EF是△ABP的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2EF=10；
过O作OC⊥AB于C，连接OB，如图所示：
则AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=5，∠OCB=90°，
∴BC=5，
∴OB=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴⊙O的半径为$\sqrt{29}$．

点评 此题考查了垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理、三角形内角和定理、四边形内角和定理；解题时根据垂径定理证明中位线，然后利用勾股定理计算即可解决问题（2）．