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【题目】(1)如图1,已知:在ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为:在ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且∠BDA=AEC=BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

(3)拓展与应用:如图3,D、ED、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点

互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且ABFACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=AEC=BAC,试判断DEF的形状.

【答案】(1)证明见解析;(2)成立,证明见解析;(3)DEF是等边三角形.证明见解析.

【解析】试题分析:(1)利用已知得出∠CAE=∠ABD,进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE,即可得出DE=BD+CE

2)根据∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,得出∠CAE=∠ABD,在△ADB△CEA中,根据AAS证出△ADB≌△CEA,从而得出AE=BDAD=CE,即可证出DE=BD+CE

3)与前面的结论得到△ADB≌△CEA,则BD=AE∠DBA=∠CAE,根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°,则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,则∠DBF=∠FAE

利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF,所以DF=EF∠BFD=∠AFE,于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形.则

DF=EF

解:(1DE=BD+CE.理由如下:

如图1∵BD⊥lCE⊥l

∴∠BDA=∠AEC=90°

∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠CAE=90°∠BAD+∠ABD=90°

∴∠CAE=∠ABD

△ABD△CAE中,

∴△ABD≌△CAEAAS

∴BD=AEAD=CE

∵DE=AD+AE

∴DE=CE+BD

2)如图2∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α

∴∠CAE=∠ABD

△ADB△CEA中,

∴△ADB≌△CEAAAS),

∴AE=BDAD=CE

∴BD+CE=AE+AD=DE

3DF=EF.理由如下:

由(2)知,△ADB≌△CAE

BD=EA∠DBA=∠CAE

∵△ABF△ACF均为等边三角形,

∴∠ABF=∠CAF=60°

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF

∴∠DBF=∠FAE

∵BF=AF

△DBF△EAF中,

∴△DBF≌△EAFSAS),

∴DF=EF∠BFD=∠AFE

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°

∴△DEF为等边三角形.

∴DF=EF

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