Question

14．已知：如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点M，N分别在BC和CD上，且∠MAN=60°．
（1）求证：AM=AN；
（2）比较点M到直线AB的距离与点N到直线BC的距离，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABC，△ACD都是等边三角形，再证明△BAM≌△CAN即可．
（2）结论：点M到直线AB的距离与点N到直线BC的距离相等，作ME⊥AB，NF⊥CA，NH⊥BC，垂足分别为E、F、H，先证明NH=NF，再利用全等三角形对应边上的高相等即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠CAB=∠CAD=∠ACB=∠ACD=60°，AB=BC=CD=AD，
∴△ABC、△ACD等式等边三角形，
∴∠B=60°，AB=AC，
∵∠BAC=∠MAN，
∴∠BAM=∠CAN，
在△AMB和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACN=60°}\\{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAN}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△CAN，
∴AM=AN．
（2）结论：点M到直线AB的距离与点N到直线BC的距离相等．
证明：作ME⊥AB，NF⊥CA，NH⊥BC，垂足分别为E、F、H．
∵∠BCD=120°，
∴∠NCH=60°=∠NCF，
∴NH=NF，
∵△BAM≌△CAN，
∴S_△ABM=S_△ACN，
∴$\frac{1}{2}$•AB•ME=$\frac{1}{2}$•AC•NF，
∵AB=AC，
∴ME=NF，
∴NF=ME，
∴点M到直线AB的距离与点N到直线BC的距离相等．

点评 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形对应边上的高相等解决问题，属于中考常考题型．