【题目】已知:如图①,在等腰直角中,斜边
.
(1)请你在图①的边上求作一点
,使得
;
(2)如图②,在(1)问的条件下,将边沿
方向平移,使得点
、
、
对应点分别为
、
、
,连接
,
.若平移的距离为1,求
的大小及此时四边形
的面积;
(3)将边沿
方向平移
个单位至
,是否存在这样的
,使得在直线
上有一点
,满足
,且此时四边形
的面积最大?若存在,求出四边形
面积的最大值及平移距离
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2),
;(3)存在,当
时,四边形
面积最大值为
【解析】
(1)利用等腰三角形“三线合一”的性质,取AC中点为点P即可.
(2)延长AP、CD相交于点M,取AB的中点F,连接PF.证明△APE≌△MPD,得到AP=MP,从而可得PF是△ABM的中位线.进而得到PF是AB的垂直平分线,这样可以得出∠APB=2∠M=2∠EAP.由AE=PE可得∠M=∠MPD=∠EPA=∠EAP,所以可得∠PDB=2∠M,由AC∥ED可得∠PDB=∠ACB=45°,所以∠APB=45°.
(3)如图,以AB为边长,在直线AB的右侧作等边三角形ABO,在以O为圆心、OA长为半径作⊙O.过点O作OM⊥AC,交⊙O于点M,点M在AC的右上方.过点M作AC的平行线DE,AE∥BC,BC的延长线交DE于点D.则此时满足∠AMB=30°,此时四边形ABDE的面积最大.
解:(1)利用等腰三角形的“三线合一”性质,取AC的中点P,连接BP即可,如下图所示:
(2)如下图所示:
延长AQ、CD相交于点M,取AB的中点F,连接PF.
由平移的性质可得,DE=AC=2,AE=CD=1,AC∥DE,AE∥CD
设∠EAQ=x
∵点Q是DE的中点∴QE=QD=DE=1
∴QE=AE
∴∠AQE=∠EAQ=x,∴∠MQD=∠AQE=x
∵AE∥CD ∴∠M=∠EAQ=x
在△AQE和△MQD中
,∴△AQE≌△MQD(AAS)
∴AQ=MQ
∵点F是AB的中点
∴QF是△ABM的中位线
∵由题知,∠ABC=90°
∴∠AFQ=90°
∴PF⊥AB,点F是AB的中点
∴BQ=AQ=MQ
∴∠QBM=∠M=x
∴∠AQB=∠QBM+∠M=2x
由题知∠ACB=45°且AC∥DE
∴∠QDB=∠ACB=45°
∵∠QDB=∠MQD+∠M=2x
∴2x=45°即∠AQB=45°
在等腰直角△ABC中,斜边AC=2,则AB=BC=
∴BD=BC+CD=
∴四边形ABDE的面积为:
故答案为:,
.
(3) 存在.
如下图,以AB为边长,在直线AB的右侧作等边三角形ABO,在以O为圆心、OA长为半径作⊙O.过点O作OM⊥MD,交⊙O于点M,点M在AC的右上方.
过点M作AC的平行线DE,AE∥BC,BC的延长线交DE于点D,AE交⊙O于点H.
则此时满足∠AMB=30°,此时四边形ABDE的面积最大.
作OF⊥AE于F,OM与AE相交于点N.
∵AE∥CD,DE∥AC
∴四边形ACDE是平行四边形
∴AE=CD,DE=AC=2
∴∠EDC=∠ACB=45°
∴∠AEM=∠EDC=45°
∵OM⊥AC
∴OM⊥DE
∴∠NME=90°
∴NE=MN,∠MNH=45°
由(2)知,AB=BC=
∴⊙O的半径是.
连接BH,∵AE∥BC,∠ABC=90°
∴∠BAH=180°-∠ABC=90°
∵∠AMB=30°,
∴∠AHB=∠AMB=30°
∴
∵OF⊥AH,点O是圆心
∴
根据勾股定理得
∵∠FNO=∠MNH=45°
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为:当时,四边形
面积最大值为
.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的对角线OB,AC相交于点D,OA=3,OC=2,且BE∥AC,AE∥OB.
(1)求证:四边形AEBD是菱形;
(2)求经过点E的双曲线对应的函数解析式;
(3)设经过点E的双曲线与直线BE的另一交点为F,过点F作x轴的平行线,交经过点B的双曲线于点G,交y轴于点H,求△OFG的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:①b<2a;②a+2c﹣b>0;③b>a>c;④b2+2ac<3ab.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在中,
,
于
,且
.点
从点
出发,沿
方向匀速运动,速度为
;同时直线
由点
出发沿
方向匀速运动,速度为
,运动过程中始终保持
,直线
交
于
,交
于
,连接
,设运动时间为
.
(1)___________,
__________,
_____________;(用含
的式子表示)
(2)当四边形是平行四边形时,求
的值;
(3)当点在线段
的垂直平分线上时,求
的值;
(4)是否存在时刻,使以
为直径的圆与
的边相切?若存在,直接写出
的值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,一辆单车放在水平的地面上,车把头下方处与坐垫下方
处在平行于地面的同一水平线上,
,
之间的距离约为
,现测得
,
与
的夹角分别为
与
,若点
到地面的距离
为
,坐垫中轴
处与点
的距离
为
,求点
到地面的距离(结果保留一位小数).(参考数据:
,
,
)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知,在中,
点
为
的中点.
问题发现
如图①,若点分别是
的中点,连接
则线段
与
的数量关系是 ___ _,线段
与
的位置关系是 ___ _;
拓展探究
如图②,若点分别是
上的点,且
连接
上述结论是否依然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
解决问题
当点分别为
延长线上的点,且
连接
直接写出
的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了解本校学生每周参加课外辅导班的情况,随机调査了部分学生一周内参加课外辅导班的学科数,并将调查结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整统计图(其中A:0个学科,B:1个学科,C:2个学科,D:3个学科,E:4个学科或以上),请根据统计图中的信息,解答下列问题:
(1)请将图2的统计图补充完整;
(2)根据本次调查的数据,每周参加课外辅导班的学科数的众数是 个学科;
(3)若该校共有2000名学生,根据以上调查结果估计该校全体学生一周内参加课外辅导班在3个学科(含3个学科)以上的学生共有 人.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线O﹣A﹣B﹣C表示支架,支架的一部分O﹣A﹣B是固定的,另一部分BC是可旋转的,线段CD表示投影探头,OM表示水平桌面,AO⊥OM,垂足为点O,且AO=7cm,∠BAO=160°,BC∥OM,CD=8cm.
将图2中的BC绕点B向下旋转45°,使得BCD落在BC′D′的位置(如图3所示),此时C′D′⊥OM,AD′∥OM,AD′=16cm,求点B到水平桌面OM的距离,(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,cot70°≈0.36,结果精确到1cm)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,AB=3+,∠B=45°,∠C=105°,点 D、E、F分别在AC、BC、AB上,且四边形ADEF为菱形,若点P是AE上一个动点,则PF+PB的最小值为___________ 。
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com