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【题目】如图1抛物线的顶点A的坐标为(14),抛物线与x轴相交于BC两点y轴交于点E03).

1)求抛物线的表达式

2)已知点F0,﹣3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G使得EG+FG最小如果存在求出点G的坐标如果不存在请说明理由

3)如图2连接AB若点P是线段OE上的一动点过点P作线段AB的垂线分别与线段AB、抛物线相交于点MN(点MN都在抛物线对称轴的右侧)MN最大时求△PON的面积

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2)存在G10);(32

【解析】

(1)根据顶点式可求得抛物线的表达式;

(2)根据轴对称的最短路径问题,作E关于对称轴的对称点E′,连接E′F交对称轴于G,此时EG+FG的值最小,先求E′F的解析式,它与对称轴的交点就是所求的点G;

(3)如图2,先利用待定系数法求AB的解析式,过NNHx轴于H,交ABQ,N(m,﹣m2+2m+3),Q(m,﹣2m+6)(1<m<3),表示NQ=﹣m2+4m﹣3,证明QMN∽△ADB,列比例式可得MN的表达式,根据配方法可得当m=2时,MN有最大值,证明NGP∽△ADB,同理得PG的长,从而得OP的长,根据三角形的面积公式可得结论,并将m=2代入计算即可.

(1)设抛物线的表达式为:y=a(x﹣1)2+4,

(0,3)代入得:3=a(0﹣1)2+4,

a=﹣1,

∴抛物线的表达式为:y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3;

(2)存在,如图1,作E关于对称轴的对称点E',连接E'F交对称轴于G,此时EG+FG的值最小.

E(0,3),E'(2,3),

EF的解析式为y=k′x+b′,

F(0,﹣3),E'(2,3)分别代入,得,解得

所以E'F的解析式为:y=3x﹣3,

x=1时,y=3×1﹣3=0,G(1,0);

(3)如图2.

AB的解析式为y=k″x+b″,

A(1,4),B(3,0)分别代入,得,解得

所以AB的解析式为:y=﹣2x+6,

NNHx轴于H,交ABQ,

N(m,﹣m2+2m+3),则Q(m,﹣2m+6),(1<m<3),

NQ=(﹣m2+2m+3)﹣(﹣2m+6)=﹣m2+4m﹣3,

ADNH,∴∠DAB=NQM,

∵∠ADB=QMN=90°,∴△QMN∽△ADB,

MN(m﹣2)2

0,

∴当m=2时,MN有最大值;

NNGy轴于G,

∵∠GPN=ABD,NGP=ADB=90°,∴△NGP∽△ADB,

PGNGm,

OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3m=﹣m2m+3,

SPONOPGN(﹣m2m+3)m,

m=2时,SPON2(﹣4+3+3)=2.

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