Question

已知，关于x的二次函数y=2x²+4x+k-1（k为正整数）．
（1）若二次函数y=2x²+4x+k-1的图象与x轴有两个交点，求k的值．
（2）若关于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0（k为正整数）有两个不相等的整数解，点A（m，y₁），B（m+1，y₂），C（m+2，y₃）都在二次函数y=2x²+4x+k-1（k为正整数）图象上，求使y₁≤y₂≤y₃成立的m的取值范围．
（3）将（2）中的抛物线平移，当顶点至原点时，直线y=2x+b交抛物线于A（-1，n）、B（2，t）两点，问在y轴上是否存在一点C，使得△ABC的内心在y轴上？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据二次函数y=2x²+4x+k-1的图象与x轴有两个交点可得到关于k的不等式，求出k的取值范围，进而可得出k的值；
（2）根据关于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0（k为正整数）有两个不相等的整数解可知k=1，故可得出y₁，y₂，y₃的值，根据y₁≤y₂≤y₃即可得出m的取值范围；
（3）根据内心在y轴上，可知∠ACO=∠BCO，找A点关于y轴的对称点A'（1，2），直线A'B：y=6x-4，与y轴的交点即为所求C点．

解答：解：（1）∵二次函数y=2x²+4x+k-1的图象与x轴有两个交点，
∴△=16-8（k-1）＞0，
∴16-8k+8＞0．
∵k为正整数，
∴k=1、2；

（2）∵关于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0（k为正整数）有两个不相等的整数解，
∴k=1，
∴y=2x²+4x，
∴y₁=2m²+4m，
y₂=2（m+1）²+4（m+1），
y₃=2（m+2）²+4（m+2），
∴

2m2+4m≤2(m+1)2+4(m+1) 2(m+1)2+4(m+1)≤2(m+2)+4(m+2)

∴m≥-

3

2

；

（3）存在
∵内心在y轴上，
∴∠ACO=∠BCO，找A点关于y轴的对称点A'（1，2），直线A'B：y=6x-4，与y轴的交点即为所求C点，坐标为（0，-4）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程解得关系、三角形的内心等知识，难度适中．