【题目】如图,已知△ACB中,∠ACB=90°,CE是△ACB的中线,分别过点A、点C作CE和AB的平行线,交于点D.
(1)求证:四边形ADCE是菱形;
(2)若CE=4,且∠DAE=60°,求△ACB的面积.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】(1)由AD//CE,CD//AE ,得四边形AECD为平行四边形,根据直角三角形斜边上中线性质,得CE=AE,可知四边形ADCE是菱形;(2)由(1)可知,当∠DAE=60°时,∠CAE=30°,可求AB,再根据三角函数求AC,BC,最后求面积.
(1)证明:∵AD//CE,CD//AE
∴四边形AECD为平行四边形
∵∠ACB=90°,CE是△ACB的中线
∴CE=AE
∴四边形ADCE是菱形
(2)解:∵CE=4,AE= CE=EB
∴AB=8,AE=4
∵四边形ADCE是菱形,∠DAE=60°
∴∠CAE=30°
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°, AB=8
,
∴AC =
∴
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【题目】如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”,[a,b,c]称为“抛物线系数”.
(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是______(填“真”或“假”)命题;
(2)若一条抛物线系数为[1,0,-2],则其“抛物线三角形”的面积为________;
(3)若一条抛物线系数为[-1,2b,0],其“抛物线三角形”是个直角三角形,求该抛物线的解析式;
(4)在(3)的前提下,该抛物线的顶点为A,与x轴交于O,B两点,在抛物线上是否存在一点P,过P作PQ⊥x轴于点Q,使得△BPQ∽△OAB,如果存在,求出P点坐标,如果不存在,请说明理由.
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【题目】为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机,已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米;4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台型挖掘机一小时的施工费用为180元.
(1)分别求每台型, 型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?
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【题目】如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解,则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程
(1)在方程①3x﹣1=0,②x﹣(3x+1)=﹣7中,不等式组的关联方程是 ;(填序号)
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数,则这个关联方程可以是 ;(写出一个即可)
(3)若方程10﹣3x=2x,1+x=2(x﹣1)都是关于x的不等式组的关联方程,求出m的取值范围.
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【题目】小明从右边的二次函数y=ax2+bx+c图象中,观察得出了下面的五条信息:①a<0,②c=0,③函数的最小值为-3,④当x<0时,y>0,⑤当0<x1<x2<2时,y1>y2 , (6)对称轴是直线x=2.你认为其中正确的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【题目】一家商店进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元,若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可以完成,需付费用3480元,问:
(1)甲,乙两组工作一天,商店各应付多少钱?
(2)已知甲单独完成需12天,乙单独完成需24天,单独请哪个组,商店所需费用最少?
(3)若装修完后,商店每天可贏利200元,你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.(可用(1)(2)问的条件及结论)
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【题目】某学校组织340名师生进行长途考察活动,带有行李170件,计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆.经了解,甲车每辆最多能载40人和16件行李,乙车每辆最多能载30人和20件行李.
(1)请你帮助学校设计所有可行的租车方案.
(2)如果甲车的租金为每辆2 000元,乙车的租金为每辆1 800元,问哪种可行方案使租车费用最省?
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