Question

20．已知函数y₁=k₁x+b₁和y₂=k₂x+b₂图象如图所示，直线y₁与直线y₂交于A点（0，3）．
（1）求函数y₁和y₂的函数关系式；
（2）求三角形ABC的面积；
（3）已知点D在x轴上，且满足三角形ACD是等腰三角形，直接写出D点坐标．

Answer 1

分析 （1）把点的坐标代入函数解析式即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）根据勾股定理得到AC=3$\sqrt{2}$，①当AD=AC=3$\sqrt{3}$时，根据等腰三角形的性质得到D₁（-3，0），②当AC=CD=3$\sqrt{2}$时，根据等腰三角形的性质得到D₂（3-3$\sqrt{2}$，0），③当AD=PD=3时，D在AC的垂直平分线上，由线段垂直平分线的性质即可得到结论．

解答 解：（1）把A（0，3），C（3，0）代y₂=k₂x+b₂$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3x+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故函数y₂的函数关系式y₂=-x+3，
把A（0，3），B（1，0）代入y₁=k₁x+b₁得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故y₁的函数关系式为：y₁=-3x+3

（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AO=$\frac{1}{2}×$2×3=3；

（3）∵OA=OC=3，
∴AC=3$\sqrt{2}$，
①当AD=AC=3$\sqrt{3}$时，OD=OC=3，
∴D₁（-3，0），
②当AC=CD=3$\sqrt{2}$时，OD=CD-OC=3$\sqrt{2}$-3，
∴D₂（3-3$\sqrt{2}$，0），
③当AD=PD=3时，D在AC的垂直平分线上，
∴D与O重合，
∴D₃（0，0），
④当AD=CD=3$\sqrt{2}$时，
OD=OC+CD=3+3$\sqrt{2}$，
∴D₄（3+3$\sqrt{3}$，0）．
综上所述：点D在x轴上，且满足三角形ACD是等腰三角形，D点坐标：（-3，0）（3-3$\sqrt{2}$，0）（0，0）（3+3$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查了两直线相交的问题，三角形的面积，求交点坐标代定系数法求解析式，认真审题，弄清题意是解题的关键．