【题目】已知,如图1,抛物线过点
且对称轴为直线
点B为直线OA下方的抛物线上一动点,点B的横坐标为m.
(1)求该抛物线的解析式:
(2)若△OAB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)如图2,过点B作直线BC∥y轴,交线段OA于点C,在抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点B的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);
(2)S,
;
(3)存在,点B为或
【解析】试题分析:(1)根据抛物线过点
且对称轴为直线
即可求得结果;
(2)过点B作轴,交
于点
,则可得直线
为
,则可设点
,点
即可表示出BH,再根据三角形的面积公式即可表示出S关于m的函数关系式,根据二次函数的性质即可求得最大值;
(3)设在抛物线的对称轴上存在点D满足题意,过点D作
于点Q,则由(2)有点
,点B
,即可表示BC,由△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形可得
,则可得
且
,再结合绝对值的性质分类讨论即可.
(1)由题知: 解之,得
该抛物线的解析式为:
(2)过点B作轴,交
于点
由题知直线
为:
设点
点
(3)设在抛物线的对称轴上存在点D满足题意,
过点D作于点Q,则由(2)有点
,点B
是以D为直角顶点的等腰直角三角形
即是:
且
若解之:
(舍去),
时,
若解之:
(舍去)
当时,
综上,满足条件的点B为或
.
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