Question

16．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，点A是$\widehat{CD}$的中点，∠POC=∠PCE．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：OC²=OE•OP；
（3）若OA=2，AC=3，求sin∠PCA的值．

Answer 1

分析 （1）由点A是$\widehat{CD}$的中点，得到CD⊥AB，于是得到∠COE+∠OCE=90°，由于∠POC=∠PCE，求得∠PCE+∠OCE=90°，证出PC⊥OC，结论可得；
（2）通过△COE∽△POC，得到比例式$\frac{OC}{OP}=\frac{OE}{OC}$，即可得到结论；
（3）由∠PCA+∠OCA=90°，AB是⊙O的直径，得到∠BCO+∠OCA=90°，于是得到∠PCA=∠BCO，由于OB=OC，得到∠BCO=∠B，推出∠PCA=∠B，由于AB=2OA=4，CA=3即可得到结论．

解答 （1）证明：∵点A是$\widehat{CD}$的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠COE+∠OCE=90°，
∵∠POC=∠PCE，
∴∠PCE+∠OCE=90°，
∴PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠POC=∠PCE，∠PCO=∠CEO=90°，
∴△COE∽△POC，
∴$\frac{OC}{OP}=\frac{OE}{OC}$，
∴OC²=OE•OP；

（3）解：∵∠PCA+∠OCA=90°，AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，即∠BCO+∠OCA=90°，
∴∠PCA=∠BCO，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠B，
∴∠PCA=∠B，
∴sin∠PCA=sin∠B，
∵AB=2OA=4，CA=3，
∴sin∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{4}$，即sin∠PCA=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，三角函数，圆周角定理，熟练掌握这些定理是解题的关键．