Question

14．把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2016-x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0，2016}就是一个黄金集合，
（1）集合{2016}不是黄金集合，集合{-1，2017}是黄金集合；（两空均填“是”或“不是”）
（2）若一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由；
（3）若一个黄金集合所有元素之和为整数M，且24190＜M＜24200，则该集合共有几个元素？说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据有理数a是集合的元素时，2016-a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为黄金集合，从而可以解答本题；
（2）根据2016-a，如果a的值越大，则2016-a的值越小，从而可以解答本题；
（3）根据题意可知黄金集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2016，然后通过估算即可解答本题．

解答 解：（1）根据题意可得，2016-2016=0，而集合{2016}中没有元素0，故{2016}不是黄金集合；
∵2016-2017=-1，
∴集合{-1，2017}是黄金集合．
故答案为：不是，是．

（2）一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是-2000．
∵2016-a中a的值越大，则2016-a的值越小，
∴一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则最小的元素为：2016-4016=-2000．

（3）该集合共有24个元素．
理由：∵在黄金集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2016-a，
∴黄金集合中的元素一定是偶数个．
∵黄金集合中的每一对对应元素的和为：a+2016-a=2016，2016×12=24192，2016×13=26208，
又∵一个黄金集合所有元素之和为整数M，且24190＜M＜24200，
∴这个黄金集合中的元素个数为：12×2=24（个）．

点评 本题考查了有理数以及探究性问题，关键是明确什么是黄金集合，集合中的各个数都是元素，明确黄金集合中的元素个数都是偶数个，在此还要应用到估算的知识．