Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE=∠A．

（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）若AC=16，tanA=，求⊙O的半径．

Answer 1

    解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：

连接DO，BD，如图，

∵∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，

∴∠ADO=∠EDB，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ODB+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵∠BDE=∠A，

∴∠ABD=∠EBD，

而BD⊥AC，

∴△ABC为等腰三角形，

∴AD=CD=AC=8，

在Rt△ABD中，∵tanA==，

∴BD=×8=6，

∴AB==10，

∴⊙O的半径为5．