Question

已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+8．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；

（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax²+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

    解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+8经过点A（﹣6，0），B（4，0），

∴

解得

∴抛物线的解析式是：y=﹣x²﹣x+8．

（2）如图①，作DM⊥抛物线的对称轴于点M，，

设G点的坐标为（﹣1，n），

由翻折的性质，可得BD=DG，

∵B（4，0），C（0，8），点D为BC的中点，

∴点D的坐标是（2，4），

∴点M的坐标是（﹣1，4），DM=2﹣（﹣1）=3，

∵B（4，0），C（0，8），

∴BC==4，

∴，

在Rt△GDM中，

3²+（4﹣n）²=20，

解得n=4±，

∴G点的坐标为（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）．

（3）抛物线y=ax²+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形．

①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时，如图②，，

由（2），可得点D的坐标是（2，4），

设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），

则

解得

∴点F的坐标是（﹣1，4），点C的坐标是（1，0）．

②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时，如图③，，

由（2），可得点D的坐标是（2，4），

设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），

则

解得

∴点F的坐标是（﹣1，﹣4），点C的坐标是（﹣3，0）．

③当CE∥DF时，如图④，，

由（2），可得点D的坐标是（2，4），

设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），

则

解得

∴点F的坐标是（﹣1，12），点C的坐标是（3，0）．

综上，可得

抛物线y=ax²+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，

点F的坐标是（﹣1，4）、（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．