Question

11．己知Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点E在直线AB上，点F在边AC上．∠EDF=90°，直线DF与直线AB交于点G；
（1）如图，当点E在边AB上，求证：DE•AC=DF•AB；
（2）若AB=3．BC=5，△EFG是等腰三角形．求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性质得到∠B+∠C=90°，由已知条件得到∠DAC+∠C=90°，根据余角的性质得到∠B=∠DAC，推出△BED∽△AFD，得到比例式$\frac{DE}{DF}=\frac{BD}{AD}$，由△ABD∽△ADC，得到比例式$\frac{BD}{AD}=\frac{AB}{AC}$，即可得到结论；
（2）分两种情况：①在等腰△EFG中，EF=EG，由∠EAF=∠EDF=90°得到A、E、D、F四点共圆，根据圆周角定理得到∠BAD=∠EFG 于是得到∠BAD=∠G，根据等腰三角形的判定得到AD=DG 推出△BAD≌△EFD 得到EF=AB，根据勾股定理列方程即可得到结果②若EF=GF，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠DAC+∠C=90°
∴∠B=∠DAC，
∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BED∽△AFD，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{BD}{AD}$，
∵∠B=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ABD∽△ADC，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AB}{AC}$，
∴DE•AC=DF•AB；

（2）如图，
①在等腰△EFG中，EF=EG，
∴∠G=∠EFG，
∵∠EAF=∠EDF=90°
∴A、E、D、F四点共圆，
∴∠BAD=∠EFG
∴∠BAD=∠G，
∴AD=DG
又∵DF=DG
∴DF=AD，∠ADB=∠EDF，
在△BAD与△EFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠EFD}\\{AD=DF}\\{∠ADB=∠EDF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△EFD，
∴EF=AB，
∴EF²=AB²
∴$\frac{25}{9}$x²-6x+9=9
解得x=$\frac{54}{25}$，
∴BE=$\frac{54}{25}$，
∴AE=$\frac{21}{25}$；
②若EF=GF，
∵EF=FG，EA⊥AC
∴A为EG中点
∴AE=AD=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等腰三角形的判定，熟练掌握各性质定理是解题的关键．