Question

7．如图，△ABC中，∠BAC=60°，点D、E分别在AB、AC上，∠BCD=∠CBE=30°，BE、CD相交于点O，OG⊥BC于点G，求证：OE+OD=2OG．

Answer 1

分析 延长OE至点M，使OM=OC，连接CM，由于∠BCD=∠CBE=30°，于是得到OB=OC，∠MOC=30°+30°=60°，推出△OMC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到CM=OC=OB，∠M=60°，于是得到∠DBO=∠MCE，推出△BOD≌△MCE，根据全等三角形的性质得到DO=EM，证得OE+OD=OM=OB，根据直角三角形的性质得到2OG=OB，即可得到结论．

解答 证明：延长OE至点M，使OM=OC，连接CM，
∵∠BCD=∠CBE=30°，
∴OB=OC，∠MOC=30°+30°=60°，
∵OM=OC，
∴△OMC为等边三角形，
∴CM=OC=OB，∠M=60°，
∴∠DBO=∠MCE，
在△BOD和△CME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBO=∠MCE}\\{BO=CM}\\{∠DOB=∠M}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△MCE，
∴DO=EM，
∴OE+OD=OM=OB，
在Rt△OBG中，∠OBG=30°，OG⊥BC，
∴2OG=OB，
∴OE+OD=2OG．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．