Question

【题目】已知，如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且，．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，点是抛物线第一象限上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段长为，求与之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，过点作直线轴，在上取一点（点在第二象限），连接，使，连接并延长交轴于点，过点作于点，连接、、．若时，求值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先令代入抛物线的解析式中求得与轴交点的坐标，根据可得的坐标，从而得的坐标，利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）如图2，设，证明，列比例式可得结论；

（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，先得，则是等腰直角三角形，得，由，得，求得，证明是等腰直角三角形，及，则，代入可得的值，并根据（2）中的点只在第一象限进行取舍．

（1）如图1，当时，

∴

∴

∵

∴

∴，

把，代入抛物线中得：

解得：

∴抛物线的解析式为；

（2）如图2，设

过作轴于

∵

∴

∴

∴

∴；

（3）如图3，连接，延长交轴于

由（2）知：，

∴

∴

∴是等腰直角三角形

∴，

∵

∴

∴，，

∵

∴

∵

∴

∵

∴是等腰直角三角形

∴，

∴

∴

∴

∴

∵，

∴

∴

∴

，

∵

∴，不符合题意，舍去

∴．