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【题目】如图所示,抛物线(m>0)的顶点为A,直线轴的交点为点B.

(1)求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标(用含的代数式表示);

(2)证明点A在直线上,并求∠OAB的度数;

(3)动点Q在抛物线对称轴上,问:抛物线上是否存在点P,使以点P、Q、A为顶点的三角形与OAB全等?若存在,求出的值,并写出所有符合上述条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)抛物线的对称轴为直线,顶点A的坐标为(,0);(2)OAB=30°;(3)存在,①=时, P(0,-),P,-);=时,P,-3),P(3+,-3);=2时, P,-3),P,-3);=时, P,-),P,-).

【解析】(1)根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴和A点坐标

(2)A点坐标代入直线的解析式中进行验证即可得出A点是否在直线yxm上的.求∠OAB的度数,可通过求∠OAB的正切值来得出,根据直线AB的解析式可得出B点坐标,即可得出OB的长,OA的长已求出,因此可在三角形OAB中得出∠OAB的正切值.即可得出∠OAB的度数.

(3)本题可分成四种情况:

一:∠AQP=∠AOB=90°:

①AO=PQ,OB=AQ,此时P、B重合,即可求出P点坐标(根据抛物线的对称性可知:P点关于抛物线对称轴的对称点也符合要求).

②AO=AQ,PQ=OB,此时P点纵坐标的绝对值与A点横坐标相等,可将其代入抛物线的解析式中,可得出两个符合条件的P点坐标.

二:∠APQ=∠AOB=90°:

①AO=PA,OB=PQ,可过P作抛物线对称轴的垂线,通过∠PAQ的度数和APOA的长求出P点纵坐标,然后代入抛物线的解析式中即可得出两个符合条件的P点坐标.

②AO=PQ,PA=OB,同①

因此本题共有8个符合条件的P点坐标.

(1)对称轴:x=m;

顶点:A(m,0).

(2)将x=m代入函数y=x-m,

y=×m-m=0

∴点A(m,0)在直线l上.

x=0时,y=-m,

∴B(0,-m)

tan∠OAB=

∴∠OAB=30度.

(3)以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等共有以下四种情况:

①当∠AQP=90°,PQ=m,AQ=m时,

如图1,此时点Py轴上,与点B重合,其坐标为(0,-m),

代入抛物线y=-(x-m)2

-m=-3m2

∵m>0,

∴m=

这时有P1(0,-

其关于对称轴的对称点P2,- )也满足条件.

②当∠AQP=90°,PQ=m,AQ=m

P坐标为(m-m,-m),

代入抛物线y=-(x-m)2

m=m2

∵m>0,

∴m=

这时有P3(3-,-3)

还有关于对称轴的对称点P4(3+,-3).

③当∠APQ=90°,AP=m,PQ=m

P坐标为(mm),代入抛物线y=-(x-m)2

m=m2

∵m>0,

∴m=2

这时有P5,-3)

还有关于对称轴的对称点P6(3,-3).

④当∠APQ=90°,AP=m,PQ=m

P坐标为(mm),

代入抛物线y=-(x-m)2

m=m2

∵m>0,

∴m=

这时有P7,-

还有关于对称轴对称的点P8,-).

所以当m=时,有点P1(0,-),P2,-);

m=时,有点P3(3-,-3),P4(3+,-3);

m=2时,有点P5,-3),P6(3,-3);

m=时,有点P7,-),P8,-).

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