【题目】如图所示,抛物线(m>0)的顶点为A,直线与轴的交点为点B.
(1)求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标(用含的代数式表示);
(2)证明点A在直线上,并求∠OAB的度数;
(3)动点Q在抛物线对称轴上,问:抛物线上是否存在点P,使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等?若存在,求出的值,并写出所有符合上述条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线,顶点A的坐标为(,0);(2)∠OAB=30°;(3)存在,①=时, P(0,-),P(,-);②=时,P(,-3),P(3+,-3);③=2时, P(,-3),P(,-3);④=时, P(,-),P(,-).
【解析】(1)根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴和A点坐标,
(2)将A点坐标代入直线的解析式中进行验证即可得出A点是否在直线y=xm上的.求∠OAB的度数,可通过求∠OAB的正切值来得出,根据直线AB的解析式可得出B点坐标,即可得出OB的长,OA的长已求出,因此可在三角形OAB中得出∠OAB的正切值.即可得出∠OAB的度数.
(3)本题可分成四种情况:
一:∠AQP=∠AOB=90°:
①AO=PQ,OB=AQ,此时P、B重合,即可求出P点坐标(根据抛物线的对称性可知:P点关于抛物线对称轴的对称点也符合要求).
②AO=AQ,PQ=OB,此时P点纵坐标的绝对值与A点横坐标相等,可将其代入抛物线的解析式中,可得出两个符合条件的P点坐标.
二:∠APQ=∠AOB=90°:
①AO=PA,OB=PQ,可过P作抛物线对称轴的垂线,通过∠PAQ的度数和AP即OA的长求出P点纵坐标,然后代入抛物线的解析式中即可得出两个符合条件的P点坐标.
②AO=PQ,PA=OB,同①
因此本题共有8个符合条件的P点坐标.
(1)对称轴:x=m;
顶点:A(m,0).
(2)将x=m代入函数y=x-m,
得y=×m-m=0
∴点A(m,0)在直线l上.
当x=0时,y=-m,
∴B(0,-m)
tan∠OAB=,
∴∠OAB=30度.
(3)以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等共有以下四种情况:
①当∠AQP=90°,PQ=m,AQ=m时,
如图1,此时点P在y轴上,与点B重合,其坐标为(0,-m),
代入抛物线y=-(x-m)2
得-m=-3m2,
∵m>0,
∴m=
这时有P1(0,-)
其关于对称轴的对称点P2(,- )也满足条件.
②当∠AQP=90°,PQ=m,AQ=m时
点P坐标为(m-m,-m),
代入抛物线y=-(x-m)2
得m=m2,
∵m>0,
∴m=
这时有P3(3-,-3)
还有关于对称轴的对称点P4(3+,-3).
③当∠APQ=90°,AP=m,PQ=m时
点P坐标为(m,m),代入抛物线y=-(x-m)2
得m=m2,
∵m>0,
∴m=2
这时有P5(,-3)
还有关于对称轴的对称点P6(3,-3).
④当∠APQ=90°,AP=m,PQ=m时
点P坐标为(m,m),
代入抛物线y=-(x-m)2
得m=m2,
∵m>0,
∴m=
这时有P7(,-)
还有关于对称轴对称的点P8(,-).
所以当m=时,有点P1(0,-),P2(,-);
当m=时,有点P3(3-,-3),P4(3+,-3);
当m=2时,有点P5(,-3),P6(3,-3);
当m=时,有点P7(,-),P8(,-).
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【题目】如图,已知反比例函数的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D,与直角边AB相交于点C,连接AD,OC.若△ABO的周长为,AD=2,则△ACO的面积为_________.
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【题目】如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形连接AC交EF于G,下列结论: ①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC⊥EF,④BE+DF=EF,⑤EC=FG;其中正确结论有( )个
A.2B.3C.4D.5
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【题目】对于未知数为 x,y 的二元一次方程组,如果方程组的解 x,y 满足 ,我们就说方程组的解 x 与 y 具有“邻好关系”.
(1) 方程组的解x与y是否具有“邻好关系”? 说明你的理由;
(2) 若方程组的解x与y具有“邻好关系”,求m的值;
(3) 未知数为x,y的方程组,其中a与x,y都是正整数,该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”? 如果具有,请求出a的值及方程组的解;如果不具有,请说明理由.
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【题目】请认真观察图形,解答下列问题:
(1)根据图1中条件,试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和.
方法1:______;
方法2:______.
(2)从中你能发现什么结论?请用等式表示出来:______;
(3)利用(2)中结论解决下面的问题:
如图2,两个正方形边长分别为a、b,如果a+b=ab=4,求阴影部分的面积.
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【题目】如图,在以线段AB为直径的⊙O上取一点,连接AC、BC.将△ABC沿AB翻折后得到△ABD.
(1)试说明点D在⊙O上;
(2)在线段AD的延长线上取一点E,使AB2=AC·AE.求证:BE为⊙O的切线;
(3)在(2)的条件下,分别延长线段AE、CB相交于点F,若BC=2,AC=4,求线段EF的长.
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【题目】如图①,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1,0) 、B(3,0) 两点,且与y轴交于点C
.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴,并沿x轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、 Q两点(点P在点Q的左侧),连接PQ,在线段PQ上方抛物线上有一动点D,连接DP、DQ.
①若点P的横坐标为,求△DPQ面积的最大值,并求此时点D 的坐标;
②直尺在平移过程中,△DPQ面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.
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【题目】2018年5月3日,中国科学院在上海发布了中国首款人工智能芯片:寒武纪(MLU100),该芯片在平衡模式下的等效理论峰值速度达每秒128 000 000 000 000次定点运算,将数
128 000 000 000 000用科学计数法表示为( )
A. 1.281014 B. 1.2810-14 C. 1281012 D. 0.1281011
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点落在函数的图象上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为,阴影三角形部分的面积从左向右依次记为、、、、,则的值为______用含n的代数式表示,n为正整数
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