Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形连接AC交EF于G，下列结论: ①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC⊥EF，④BE+DF＝EF，⑤EC＝FG；其中正确结论有( )个

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据已知条件易证△ABE≌△ADF，根据全等三角形的性质即可判定①②；由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，即可判定③；设EC=FC=x，由勾股定理和三角函数计算后即可判定④⑤．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．

∵△AEF等边三角形，

∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．

∴∠BAE+∠DAF=30°．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

,

Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF（故①正确）．

∠BAE=∠DAF，

∴∠DAF+∠DAF=30°，

即∠DAF=15°（故②正确），

∵BC=CD，

∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，

∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF．（故③正确）．

设EC=FC=x，由勾股定理，得:

,

∴EC≠FG（⑤错误）

在Rt△AEG中，

,

,

,

,

，（故④错误），

综上所述，正确的结论为①②③，共3个，

故选B．