Question

（1）学完全等三角形以后，老师布置了这样一道题：如图1，点M、N分别在等边△ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q．试说明：∠BQM=60°．

（2）小丽做完后，进行了反思，提出了许多问题，如：

①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？

②若将题中的点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？

请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ．

并对②给出证明．

 

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）① 是，②是，证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三个角相等，三条边相等，利用SAS得到三角形ABM与三角形BCN全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，利用外角性质及等量代换即可得证；

（2）①是真命题，条件与结论交换后，先利用两对角相等的三角形相似得到三角形BMQ与三角形ABM相似，利用相似三角形的对应角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形ABM与三角形BCN全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；②是真命题，利用外角的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACM与三角形ABN全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，利用等式的性质变形即可得证．

试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

在△ABM和△BCN中，∵BM=CN，∠ABM=∠BCN，AB=BC，∴△ABM≌△BCN（SAS），

∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；

（2）①是；②是；

②的证明如下：

如图，在△ACM和△BAN中，∵CM=AN，∠ACM=∠BAN=120°，AC=AB，

∴△ACM≌△BAN（SAS），∴∠AMC=∠BNA，

∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°；

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质．