Question

已知在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，能否画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上？

Answer 1

考点：圆内接四边形的性质

专题：常规题型

分析：利用反证法证明：△ABC的外接圆为⊙O，假设点D不在⊙O上（在⊙O外或⊙O内），AD交⊙O于D′，连接CD′，由于∠B+∠D=180°，根据三角形外角性质得∠B+∠AD′C≠180°，这与圆内接四边形的对角互补相矛盾，由此可判断四个顶点都在同一个圆上．

解答：解：能画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上．
△ABC的外接圆为⊙O，假设点D不在⊙O上（在⊙O外或⊙O内），如图，当点D在⊙O外，AD交⊙O于D′，连接CD′，
因为∠B+∠D=180°，而∠AD′C＞∠D，所以∠B+∠AD′C≠180°，同样当点D在⊙O内时也得到∠B+∠AD′C≠180°这与圆内接四边形的性质相矛盾，所以假设错误，所以点D在⊙O上，即在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，能画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上．

点评：本题考查了圆内接四边形的性质和判定条件．也考查了反证法．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．