Question

【题目】A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，P是x轴上一动点，从原点O出发，沿正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．

（1）若AB∥x轴，求t的值；
（2）设点B的坐标为（x，y），试求y关于x的函数表达式；
（3）当t=3时，平面直角坐标系内有一点M（3，a），请直接写出使△APM为等腰三角形的点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点B作BC⊥x轴于点C，如图1所示．

∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，

∴四边形ABCO为长方形，

∴AO=BC=4．

∵△APB为等腰直角三角形，

∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°，

∴△AOP为等腰直角三角形，

∴OA=OP=4．

t=4÷1=4（秒），

故t的值为4．

（2）

解：∵△APB为等腰直角三角形，

∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°．

又∵∠PAO+∠APO=90°，

∴∠PAO=∠BPC．

在△PAO和△BPC中， ，

∴△PAO≌△BPC，

∴AO=PC，BC=PO．

∵点A（0，4），点P（t，0），点B（x，y），

∴PC=AO=4，BC=PO=t=y，CO=PC+PO=4+y=x，

∴y=x﹣4．

（3）

解：△APM为等腰三角形分三种情况：

①当AM=AP时，如图2所示．

当t=3时，点P（3，0），∵点M（3，a），点A（0，4），∴由两点间的距离公式可知： AM= ，AP= =5，∴ =5，解得：a=0（舍去），a=8．此时M点的坐标为（3，8）；②当MA=MP时，如图3所示．

∵点P（3，0），点A（0，4），点M（3，a），

∴由两点间的距离公式可知： MA= ，MP=a，∴ =a，解得：a= ．此时M点的坐标为（3， ）；③当PA=PM时，如图4所示．

∵点P（3，0），点A（0，4），点M（3，a），∴由两点间的距离公式可知： PA= =5，PM=|a|，∴a=±5．此时M点的坐标为（3，5）或（3，﹣5）．综上可知：当t=3时，平面直角坐标系内有一点M（3，a），使△APM为等腰三角形的点M的坐标为（3，8），（3， ），（3，5）和（3，﹣5）．

【解析】（1）由AB∥x轴，可找出四边形ABCO为长方形，再根据△APB为等腰三角形可得知∠OAP=45°，从而得出△AOP为等腰直角三角形，由此得出结论；（2）先证出△PAO≌△BPC，即可得出各边的关系，利用坐标系中点的意义即可得出个线段的长度，由相等的量可得出结论；（3）由等腰三角形的性质可知，若△APM为等腰三角形只需找到一组临边相等即可，临边相等分三种情况，分类讨论结合两点间的距离公式即可得出结论．