Question

10．如图，在直角坐标系中，A在x轴负半轴上，C点在y轴正半轴上，OG是第一象限角平分线，AC的垂直平分线分别与AC，y轴及x轴相交于D，E，B，且OC=OB
（1）若射线OG上有一点F，且FE=FB，四边形OBFE的面积是8，试求F的坐标．
（2）若A（-1，0），试求B，D的坐标；
（3）在（2）的条件下，在直线OG上有一点P，若△POB是等腰三角形，试求P的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1，过F作FM⊥x轴于M，FN⊥y轴于N，根据角平分线的性质得到FN=FM，推出Rt△FNE≌Rt△FBM，得到S_△FNE=S_△FBM，求得S_{正方形MFNO}=8，即可得到结论；
（2）设B（a，0），于是得到AB=1+a，OB=OC=a，由BD是AC的垂直平分线，得到BC=AB=a+1，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）如图2，①当OP₁=OB=1+$\sqrt{2}$，过P₁作P₁H⊥x轴于H，根据等腰直角三角形的性质得到P₁H=OH=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，求得P₁（$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$），②当OP₂=P₂B时，根据三角形的内角和得到∠OP₂B=90°，过P₂作P₂Q⊥OB于Q由等腰直角三角形的性质得到P₂（$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$），③当P₃B=OB=1+$\sqrt{2}$时，根据等腰三角形的性质得到∠P₃OB=∠OP₃B=45°，由三角形的内角和得到∠P₃BO=90°，于是得到P₃（1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）．

解答 解：（1）如图1，过F作FM⊥x轴于M，FN⊥y轴于N，
∵OG是第一象限角平分线，
∴FN=FM，
∴四边形MFNO是正方形，
在Rt△FNE与Rt△FBM中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=BF}\\{FN=FM}\end{array}\right.$，
∴Rt△FNE≌Rt△FBM，
∴S_△FNE=S_△FBM，
∵四边形OBFE的面积是8，
∴S_{正方形MFNO}=8，
∴FM=FN=2$\sqrt{2}$；
∴F（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；

（2）设B（a，0），
∴AB=1+a，OB=OC=a，
∵BD是AC的垂直平分线，
∴BC=AB=a+1，
∴a²+a²=（a+1）²，
∴a=1+$\sqrt{2}$，（负值舍去），
∴B（1+$\sqrt{2}$，0），
∴C（0，1+$\sqrt{2}$），
∵D是AC的中点，
∴D（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$）；

（3）如图2，①当OP₁=OB=1+$\sqrt{2}$，过P₁作P₁H⊥x轴于H，
∵∠P₁OB=45°，
∴P₁H=OH=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，
∴P₁（$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$），
②当OP₂=P₂B时，
∴∠P₂OB=∠P₂BO=45°，
∴∠OP₂B=90°，
过P₂作P₂Q⊥OB于Q，
∴P₂Q=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
∴P₂（$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$），
③当P₃B=OB=1+$\sqrt{2}$时，
∵∠P₃OB=90°，
∴∠P₃OB=∠OP₃B=45°，
∴∠P₃BO=90°，
∴P₃（1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$），
综上所述：P（$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$），（1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．