Question

5．如图，在直角坐标系中，长方形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（2，6），将长方形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E，则点D的坐标为（-$\frac{8}{5}$，$\frac{24}{5}$）．

Answer 1

分析 过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=2，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=6，利用相似三角形的性质求出DF、AF的长度，即可得出结果．

解答 解：如图，过D作DF⊥AF于F，
∵点B的坐标为（2，6），
∴AO=2，AB=6，
根据折叠可知：CD=AO=2，
在△CDE和△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠AOE=90°}&{\;}\\{∠DEC=∠OEA}&{\;}\\{CD=AO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△AOE（AAS），
∴OE=DE，
设OE=x，则CE=6-x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE²=DE²+CD²，
∴（6-x）²=x²+2²，
∴x=$\frac{8}{3}$，
又∵DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
∵AD=AB=6，
∴AE=CE=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EO}{DF}$=$\frac{OA}{AF}$，
即$\frac{\frac{10}{3}}{6}=\frac{\frac{8}{3}}{DF}=\frac{2}{AF}$，
解得：DF=$\frac{24}{5}$，AF=$\frac{18}{5}$，
∴OF=$\frac{18}{5}$-2=$\frac{8}{5}$，
∴D的坐标为（-$\frac{8}{5}$，$\frac{24}{5}$）；
故答案为：（-$\frac{8}{5}$，$\frac{24}{5}$）．

点评 此题主要考查了图形的折叠问题、坐标与图形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．