【题目】如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过点D作FG⊥AC于点F,交AB的延长线于点G.
(1)求证:GD为⊙O切线;
(2)求证:DE2=EF·AC;
(3)若tan∠C=2,AB=5,求AE的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)AE=3.
【解析】
(1)欲证明FG是⊙O的切线,只要证明OD⊥FG;
(2) 连接AD,然后求证Rt△CDF∽Rt△CAD,即可解答;
(3)由题意得出∠ABC=∠C,tan∠ABC=tan∠C=,根据直角三角形的三角函数得出CF=1,即可解答.
解:(1)如答图1,连接OD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DG⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴GD为⊙O切线;
(2)如答图2,连接AD,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴CD=BD,∠EAD=∠BAD,
∴BD=DE=CD,
∵DF⊥AC,
∴CF=EF,
∵Rt△CDF∽Rt△CAD,
∴,即CD2=CF·AC,
∴DE2=EF·AC;
(3)如答图2,∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,tan∠ABC=tan∠C=,∵AB=5,
∴BD=DC=,在Rt△CDF中,
∵tan∠C=2,∴CF=1,由(2)知,,EF=CF,
∴EF=CF=1,CE=2,所以AE=AC-CE=AB-CE=5-2=3.
答图1 答图2
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【题目】如图所示,一次函数y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,将直线AB向下平移与反比例函数(x>0)交于点C、D,连接BC交x轴于点E,连接AC,已知BE=3CE,且S△ACE=.
(1)求直线BC和反比例函数解析式;(2)连接BD,求△BCD的面积.
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【题目】某果园有棵橘子树,平均每一棵树结个橘子.根据经验估计,每多种棵树,平均每棵树就会少结个橘子.设果园增种棵橘子树,果园橘子总个数为个.
(1)根据题意,填写下表:
增种的橘子树(棵) | … | |||||
平均每棵树结橘子数(个) |
(2)求果园里增种多少棵橘子树时,所结橘子总数最多,并求出此时橘子的总数.
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【题目】如图,直线与坐标轴交于A,B两点,在射线AO上有一点P,当△APB是以AP为腰的等腰三角形时,点P的坐标是________________.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点E在CD上,DE=1,点F是边AB上一动点,以EF为斜边作Rt△EFP.若点P在矩形ABCD的边上,且这样的直角三角形恰好有两个,则AF的值是________.
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【题目】公司年使用自主研发生产的“”系列甲、乙、丙三类芯片共万块,生产了万部手机,其中乙类芯片的产量是甲类芯片的倍,丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多万块.这些“”芯片解决了该公司年生产的全部手机所需芯片的.
(1)求年甲类芯片的产量;
(2)公司计划年生产的手机全部使用自主研发的“”系列芯片.从年起逐年扩大“”芯片的产量,年、年这两年,甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数,乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比小,丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.年到年,丙类芯片三年的总产量达到亿块.这样,年的公司的手机产量比年全年的手机产量多,求丙类芯片年的产量及的值.
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【题目】如图①,在平面直角坐标系中,已知,四点,动点以每秒个单位长度的速度沿运动(不与点、点重合),设运动时间为(秒).
(1)求经过、、三点的抛物线的解析式;
(2)点在()中的抛物线上,当为的中点时,若,求点的坐标;
(3)当在上运动时,如图②.过点作轴,垂足为,,垂足为.设矩形与重叠部分的面积为,求与的函数关系式,并求出的最大值;
(4)点为轴上一点,直线与直线交于点,与轴交于点.是否存在点,使得为等腰三角形?若存在,直接写出符合条件的所有点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.
填空:线段AD,BE之间的关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.
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【题目】如图,抛物线与轴交于点,对称轴为直线,平行于轴的直线与抛物线交于、两点,点在对称轴左侧,.
I.求此抛物线的解析式;
Ⅱ.已知在轴上存在一点,使得的周长最小,求点的坐标;
Ⅲ.若过点的直线将的面积分成2:3两部分,试求直线的解析式.
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