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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙OBC于点D,交AC于点E,过点DFGAC于点F,交AB的延长线于点G

1)求证:GD为⊙O切线;

2)求证:DE2=EF·AC

3)若tanC=2AB=5,求AE的长.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3AE=3.

【解析】

(1)欲证明FG是⊙O的切线,只要证明ODFG

(2) 连接AD,然后求证RtCDFRtCAD,即可解答;

3)由题意得出∠ABC=CtanABC=tanC=,根据直角三角形的三角函数得出CF=1,即可解答.

解:(1)如答图1,连接OD

OD=OB

∴∠ODB=OBD

AB=AC

∴∠ABC=C

∴∠ODB=C

ODAC

DGAC

ODDF

GD为⊙O切线;

2)如答图2,连接AD

AB为直径,

∴∠ADB=90°,即ADBC

AB=AC

CD=BD,∠EAD=BAD

BD=DE=CD

DFAC

CF=EF

RtCDFRtCAD

,即CD2=CF·AC

DE2=EF·AC

3)如答图2,∵AB=AC

∴∠ABC=CtanABC=tanC=,∵AB=5

BD=DC=,在RtCDF中,

tanC=2,∴CF=1,由(2)知,EF=CF

EF=CF=1CE=2,所以AE=AC-CE=AB-CE=5-2=3

答图1 答图2

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